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FEM-gestützte Analyse der linear-elastischen und hyperelastischen eigengravitierenden Erde unter dem Aspekt geometrischer und physikalischer Nichtlinearitäten
Lofink, Paul
Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der Deformation der Erde aufgrund der Eigengravitation. Es werden zunächst kontinuumstheoretische Grundlagen vorgestellt. Dabei werden mechanische und thermodynamische Gesetze erläutert.
Um das System aus Feldgleichungen zu schließen, werden nach der Methode von Coleman-Noll thermodynamisch-konsistente Materialgesetze hergeleitet.
Das Eigengravitationsproblem wird auf Basis des geometrisch linearen Modells nach Hooke analytisch gelöst. Dabei wird die lokale Massen- und Impulsbilanz in Kugelkoordinaten auf den radialsymmetrischen Fall konkretisiert. Mit entsprechenden Randbedingungen werden radiale Verschiebungen für eine anfänglich homogene Erde berechnet. Aus den Verschiebungen werden Dehnungen und Spannungen im Erdinneren bestimmt.
Um den heterogenen Aufbau der Erde zu erfassen, wird das Homogenisierungsverfahren von Kachanov und Sevostianov angewendet. Dabei wird der Aufbau der Erde bestehend aus innerem, äußerem Kern und Mantel zu einer homogenen
Kugel zusammengefasst. Daraus resultieren effektive elastische Kennwerte für die Erde. Die Daten für die heterogenen elastischen Eigenschaften sind dem Preliminary Reference Earth Model (PREM) entnommen.
Die ermittelten Dehnungen übersteigen den Gültigkeitsbereich der geometrisch linearen Theorie. Folgerichtig wird die Untersuchung auf finite Deformationen erweitert. Hierbei wird die Unterscheidung zwischen Bezugs- und aktueller Platzierung wesentlich. Die aktuelle Platzierung der Erde ist durch das Preliminary Reference Earth Model bekannt. Die Bezugsplatzierung ist dagegen unbekannt. Daher
werden die Bilanzgleichungen in der aktuellen Platzierung formuliert. Es wird ein physikalisch linearer Zusammenhang zwischen dem Cauchy-Spannungstensor und dem Euler-Almansi-Dehnungstensor hergestellt. Die daraus resultierenden
nicht-linearen Differentialgleichungen werden mit der Finiten-Elemente-Methode (FEM) numerisch gelöst und radiale Verschiebungen, Dehnungen und Spannungen
bestimmt.
Eine weitere Verfeinerung des Modells besteht in der Simulation des PREM-Mehrschichtaufbaus der Erde. Um die Übergangsbedingungen an den Schichtgrenzen zu erfüllen, wird in der numerischen Simulation eine Iterationsprozedur implementiert. Dadurch wird die Stetigkeit der radialen Verschiebungen und der radialen Spannungen realisiert. Im letzten Abschnitt wird das physikalisch nicht-lineare Materialverhalten nach Mooney-Rivlin untersucht. Die polykonvexe Formänderungsenergiedichte dieses Modells wird in Kugelkoordinaten entwickelt und auf den radialsymmetrischen
Fall der Erde spezialisiert. Unter Verwendung der PREM-Daten werden die Deformationen der geschichteten Erde mithilfe der FEM bestimmt und mit den Ergebnissen der linearen Modelle verglichen.
This thesis deals with the deformation of the Earth due to self-gravitation. First fundamentals of continuum theory are explained. Mechanical and ther modynamical balance equation are presented. In order to close the system of field equations, thermodynamically consistent constitutive laws are derived by applying the method of Coleman-Noll. The self-gravitational deformation based on geometrically linear model of Hooke is solved analytically. For this purpose the local mass and linear momentum balances in spherical coordinates are specialized to the radially symmetrical case. Corresponding boundary conditions are used and radial displacements for an initially homogeneous Earth are determined. In order to capture the heterogeneous structure of the Earth the homogenization method of Kachanov and Sevostianov is used. A three-layered compound consisting of the inner core, outer core and mantle is homogenized. Thus effective elastic parameters are deduced for the Earth. Data for the heterogeneous elastic characteristics are taken from the Preliminary Reference Earth Model. The predicted strains are beyond the validity of the geometrically linear theory. Consequentially the investigation is extended to finite eformations. Here a distinction between reference and current configuration becomes essential. The current configuration of the Earth is given by the Preliminary Reference Earth Model. The referential configuration is unknown. Therefore the balance equations are stated in the current configuration. A physically linear constitutive law relates the Cauchy stress tensor and the Euler-Almansi strain tensor. The resulting non-linear differential equations are solved numerically with the finite element method and radial displacements, strains and stresses are determined. A further refinement of the model is obtained by simulating the multi-layered structure of the Preliminary Reference Earth Model. To ensure the transition conditions an iteration scheme is implemented. Thereby the continuity of the radial displacements and stresses is realized. In the last chapter self-gravitational deformation based on physically non-linear Mooney-Rivlin model is analyzed. The polyconvex stored energy function of this model is developed in spherical coordinates and specialized to the radially symmetric case of the Earth. By using the PREM data the deformations of the Earth are determined with the finite element method and results are compared to those from the linear models.
