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We are tackling the problem of reducing high congestion in networks from a mathematical point of view.
First, we consider resource allocation problems where a set of commodities jointly uses a set of resources. The feasible allocations for each commodity are a commodity specific set of subsets of resources. The cost of each resource is determined by a polynomial function with maximum degree d that depends on the number of comodities using it. We propose a local search algorithm to reduce the overall cost for which we provide an upper and corresponding lower bound on the locality gap. In addition, we give concrete values for the locality gap for small d. We also evaluate the general approximation guarantee for the linear case and show APX-hardness with a lower bound that rises if the Unique Games Conjecture holds true.
Further, we consider impartial selection, where a set of agents cast nominations amongst themselves and we seek to select an agent with a high number of nominations. Each selection mechanism shall maintain impartiality, meaning that a user’s nominations have no influence on her probability of being selected. While it has been shown that no deterministic exact mechanism can guarantee any positive approximation factor, we relax the exactness requirement and allow to sometimes, but not always select less than the desired number of agents. We introduce a mechanism which achieves a best possible result for deterministically selecting up to two agents. In the randomized variant, a performance guarantee for the expected number of nominations is given. We give a best possible mechanism for the case of selecting up to two out of three agents. We also introduce upper and lower bounds for exactly selecting two agents. Further, we generalize and subsequently analyze our algorithms to select a larger number of k agents. In addition, our work provides a general allocation subroutine, which gives a quick, simple solution to the problem of fairly allocating representatives in proportion to group sizes.
Finally, we consider the online dial-a-ride problem on the line. Users arrive in an online manner in some place on the real line and request to be transported to another place on the line. A server of given capacity which starts at the origin picks users up and delivers them, with or without temporary interruption, to their destination. Our goal is to minimize the makespan, i.e. the time which the server needs until the last request is fulfilled. We provide a competitive algorithm for preemptive online dial-a-ride on the line and we prove an improved lower bound for the non-preemptive setting. In addition, we show that a slightly modified version of the algorithm holds the competitive ratio in metric space. We also consider the offline problem and prove that we can construct instances such that the server has to make direction changes on the line arbitrarily often and give a dynamic program which computes the minimum completion time in quadratic time. Further, we show that in contrast to that, the non-preemptive offline dial-a-ride on the line with capacity one is NP-complete.
In dieser Arbeit betrachten beschäftigen wir uns mit dem Problem der Reduzierung von starker Auslastung in Netzwerken.
Zuerst betrachten wir allgemeine Ressourcenverteilungsprobleme, in welchen Nutzer gemeinsam eine Menge von Ressourcen mit negativen Skaleneffekten benutzt. Die zulässigen Verteilungen für jeden Nutzer bestehen aus einer nutzerspezifische Menge von Teilmengen der Ressourcen. Die Kosten für jede Ressource sind durch ein Polynom der Ordnung d bestimmt, welches die Gesamtnutzung einer Ressource auf ihre Kosten abbildet. Wir präsentieren einen lokalen Suchalgorithmus zur Reduzierung der Gesamtkosten für welchen wir eine obere und untere Schranke an die Lokalisierungslücke angeben. Zusätzlich geben wir konkrete Werte der Lokalisierungslücke für kleine d. Wir berechnen außerdem die allgemeine Approximationsgarantie für den linearen Fall und zeigen APX-Schwere mit einer unteren Schranke welche sich erhöht falls die Unique Games Vermutung wahr ist.
Weiterhin betrachten wir das Problem der unabhängigen Auswahl, bei dem sich eine Menge von Spielern untereinander nominiert und wir eine Spielerin mit einer großen Anzahl von Nominierungen auswählen wollen. Jeder Auswahlmechanismus soll Unabhängigkeit sichern, das heißt, dass die Nominierungen einer Spielerin keinen Einfluss auf ihre Wahrscheinlichkeit ausgewählt zu werden haben. Es ist bekannt, dass kein deterministischer Mechanismus eine positive Approximationsgüte garantieren kann, weswegen wir die Exaktheitsbedingung lockern und erlauben, dass manchmal, aber nicht immer, auch weniger als die vorgegebene Menge an Spielern ausgewählt werden kann. Wir führen einen Mechanismus ein, welcher ein bewiesen bestmögliches Ergebnis für die deterministische Auswahl von bis zu zwei Spielern gibt. Für die randomisierte Variante geben wir eine Garantie für die Anzahl von Nominierungen in Erwartung. Weiterhin zeigen wir einen bestmöglichen Mechanismus für die Auswahl von bis zu zwei aus drei Spielern. Wir geben zudem untere und obere Schranken um genau zwei Spieler auszuwählen und verallgemeinern und analysieren unsere Mechanismen für die Auswahl einer größeren Anzahl von k Spielern. Zusätzlich gibt unsere Arbeit eine Zuteilungsunterroutine, welche eine schnelle und einfache Lösung für das Problem auf faire Art und Weise Repräsentanten proportional zu Gruppengrößen auszuwählen bietet.
Schließlich betrachten wir das online Fahrdienstproblem auf der Linie. Nutzer erscheinen in einer fortlaufenden Art und Weise an einer beliebigen Stelle auf dem reellen Zahlenstrahl und fragen an, zu einem anderen Ort auf dem Zahlenstrahl transportiert zu werden. Ein Zusteller mit vorgegebener Kapazität, welcher im Nullpunkt startet, nimmt die Nutzer auf und bringt sie, mit oder ohne temporäre Unterbrechung, zu ihrem Ziel. Unser Ziel ist es, die Gesamtdauer, d.h. die Gesamtzeit, welche der Server braucht bis der letzte Auftrag ausgeführt wurde, zu minimieren. Wir präsentieren einen kompetitiven Algorithmus für das online Fahrdienstproblem mit Unterbrechungen auf der Linie und beweisen eine verbesserte untere Schranke für den Fall ohne Unterbrechungen. Weiterhin zeigen wir, dass eine leicht modifizierte Variante des Algorithmus die Kompetitivitätsgüte beibehält. Wir betrachten zudem das offline Problem und zeigen, dass wir Instanzen konstruieren können, so dass der Server beliebig viele Richtungswechsel auf der Linie machen muss und geben ein dynamisches Programm an, welches die minimale Vollendungszeit für dieses Problem in quadratischer Zeit berechnet. Im Gegensatz hierzu zeigen wir, dass das offline Fahrdienstproblem ohne Unterbrechungen mit Kapazität eins NP-vollständig ist.
