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In this thesis, we study subvarieties of Grassmannians which are characterized by certain rank one conditions on their tangent or conormal spaces. Although these concepts seem to be very abstract at first sight, we will see that many of these subvarieties are naturally associated to underlying projective varieties. Typically such varieties consist of linear spaces which meet a projective variety with some prescribed contact. First examples are the set of all lines intersecting a space curve or the set of all lines tangent to a space curve.
A subvariety of a Grassmannian is called coisotropic if its conormal spaces satisfy the above mentioned rank one conditions. The notion of coisotropic hypersurfaces was introduced by Gel’fand, Kapranov and Zelevinsky. We develop their theory further and generalize their notion to subvarieties of Grassmannians with codimension higher than one. Moreover, we introduce the dual notion of isotropic varieties by requiring the rank one conditions to hold on their tangent spaces instead of their conormal spaces.
Throughout this thesis, we investigate different aspects of isotropic and coisotropic varieties. We focus on classifying them by their underlying projective varieties. Furthermore, we are interested in their degrees, their singular loci and their behavior under projective duality. We also provide Macaulay2 code for explicit computations with some of the varieties we encounter in this thesis. In parts of this thesis, we restrict ourselves to the Grassmannian of lines in three-dimensional projective space, which contains already many interesting and non-trivial examples of (co)isotropic varieties. These lead us to questions which have been actively studied in the 19th century, like the classification of congruences, and to modern applications in algebraic vision, a recently emerged research area in the intersection of computer vision and algebraic geometry.
Additionally, we present two rather unrelated results at the end of this thesis, which have been developed in parallel to the findings described above. First, we describe a Macaulay2 package for computations in tropical geometry. Secondly, we investigate a simplicial complex whose facets represent the most widely used scales in western music.
In dieser Arbeit untersuchen wir Untervarietäten von Graßmann-Mannigfaltigkeiten, welche durch gewisse Rang-Eins-Bedingungen auf deren Tangential- oder Konormalräumen charakterisiert sind. Obwohl diese Konzepte auf den ersten Blick sehr abstrakt wirken, werden wir sehen, dass viele dieser Untervarietäten auf natürliche Weise zu zugrundeliegenden projektiven Varietäten assoziiert sind. Typischerweise bestehen solche Varietäten aus linearen Räumen, welche eine projektive Varietät mit einem vorgegebenen Kontakt treffen. Erste Beispiele hierfür sind die Menge aller Linien, die eine Raumkurve schneiden, oder die Menge aller Linien, die zu einer Raumkurve tangential sind.
Eine Untervarietät einer Graßmann-Mannigfaltigkeit heißt koisotrop, falls ihre Konormalenräume die oben genannten Rang-Eins-Bedingungen erfüllen. Der Begriff der koisotropen Hyperfläche wurde von Gel’fand, Kapranov und Zelevinsky eingeführt. Wir entwickeln diese Theorie weiter und verallgemeinern diesen Begriff auf Untervariatetäten von Graßmann-Mannigfaltigkeiten mit größerer Kodimension als eins. Weiterhin führen wir den dualen Begriff der isotropen Varietäten ein, indem wir verlangen, dass obige Rang-Eins-Bedingungen auf deren Tangential- statt deren Konormalräumen gelten.
Im Laufe dieser Arbeit studieren wir verschiedene Aspekte isotroper und koisotroper Varietäten. Ein Schwerpunkt ist die Klassifizierung dieser bezüglich ihrer zugrundeliegenden projektiven Varietäten. Außerdem interessieren wir uns für ihre Grade, ihre singulären Orten sowie ihr Verhalten unter projektiver Dualität. Wir stellen auch Macaulay2-Code für explizite Berechnungen mit einigen der Varietäten aus dieser Arbeit zur Verfügung. In Teilen dieser Arbeit beschränken wir uns auf die Graßmann-Mannigfaltigkeit der Linien im dreidimensionalen projektiven Raum, welche bereits viele interessante und nichttriviale Beispiele von (ko)isotropen Varietäten enthält. Diese führen uns zu Fragen, welche aktiv im 19. Jahrhundert untersucht wurden, wie zum Beispiel die Klassifizierung der algebraischen Strahlensysteme, sowie zu modernen Anwendungen in Algebraic Vision, einem vor Kurzem entstandenen Forschungsgebiet im Schnittbereich von algebraischer Geometrie und Computer Vision.
Zudem stellen wir zwei eher unverwandte Resultate am Ende dieser Arbeit vor, welche parallel zu den oben beschriebenen Ergebnissen entwickelt wurden: Erstens beschreiben wir ein Macaulay2-Paket für Berechnungen in der tropischen Geometrie und zweitens untersuchen wir einen Simplizialkomplex, dessen Facetten den meistverwendeten Skalen in der westlichen Musik entsprechen.
