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Tensor methods for the numerical solution of high-dimensional parametric partial differential equations
Pfeffer, Max
This thesis deals with tensor methods for the numerical solution of parametric partial differential equations (PDEs). Because of their parametric dependence, these differential equations exhibit a high dimensionality. Numerical methods like the Galerkin method quickly reach their limits, since the resulting linear system grows exponentially with the number of parameters. This is known as the curse of dimensionality.
The work can be roughly divided into three parts. The first part covers the theory of parametric PDEs using the leading example of a diffusion equation with parametric coefficients. We consider both a so called affine coefficient as well as a log-normal one. The necessary theoretical foundations for the numerical treatment of these problems are laid out.
The second part is a review of the state of the art of tensor methods. These have gained a lot of recognition in recent years. We introduce a number of tensor decomposition formats and discuss their advantages and disadvantages. In particular, we devise a general tensor representation and unite some concepts from mathematics and quantum physics where these formats have been known for a while. We highlight especially the methods for low rank approximation with tensors, because these will be used for the numerical solution of the parametric diffusion equation.
In the last part, we present our own results. We developed a number of numerical methods in order to facilitate the use of tensor methods especially in the log-normal case. Additionally, we present error estimators, both for the affine and the log-normal case, that allow for the comparison of the errors resulting from the different discretisations. These enable us to formulate an adaptive algorithm for the numerical solution of these equations. Finally, we illustrate the applicability of our methods with some numerical experiments.
Diese Arbeit behandelt Tensormethoden für die numerische Lösung von parametrischen partiellen Differentialgleichungen (PDEs). Aufgrund ihrer parametrischen Abhängigkeit weisen diese Differentialgleichungen eine hohe Dimensionalität auf. Numerische Lösungsverfahren wie die Galerkin Methode stoßen schnell an ihre Grenzen, da das resultierende Gleichungssystem mit der Anzahl der Parameter exponentiell wächst. Dies ist der sogenannte Fluch der Dimension.
Die Arbeit kann grob in drei Teile unterteilt werden. Der erste Teil behandelt die Theorie parametrischer PDEs am Beispiel einer Diffusionsgleichung mit parametrischem Koeffizienten. Wir betrachten den sogenannten affinen Fall eines Koeffizienten, sowie den log-normalen Fall. Die nötigen theoretischen Grundlagen für die numerische Lösung dieser Probleme werden gelegt.
Der zweite Teil ist eine Übersicht über den State of the Art der Tensormethoden. Diese haben in den letzten Jahren sehr an Zuspruch gewonnen. Wir führen einige Tensorzerlegungsformate ein und behandeln deren Vor- und Nachteile. Insbesondere formulieren wir eine allgemeine Form der Tensordarstellung und vereinigen Konzepte aus der Mathematik und der Quantenphysik, wo diese Zerlegungen schon länger bekannt sind. Wir gehen dann besonders auf Methoden zur Niedrigrangapproximation mit Tensoren ein, da diese zur Annäherung der Lösung der parametrischen Diffusionsgleichungen eingesetzt werden.
Im letzten Teil stellen wir unsere eigenen Ergebnisse vor. Es wurden einige numerische Verfahren entwickelt, um den Einsatz von Tensormethoden besonders im log-normalen Fall zu ermöglichen. Außerdem präsentieren wir Fehlerschätzer, sowohl für die affine als auch für die log-normale Diffusionsgleichung, mit deren Hilfe die unterschiedlichen Diskretisierungen verglichen werden können. Dies erlaubt die Formulierung eines adaptiven Algorithmus’ für die numerischen Lösung der Gleichungen. Zuletzt verdeutlichen wir die Anwendbarkeit unserer Methoden mit Hilfe von numerischen Experimenten.
