Loading…
This thesis focuses on noise induced synchronization. Noise induced synchronization describes the stabilizing effect of noise on the long-time dynamics of a random dynamical system. While the attractor in the absence of noise is not a single point, the random attractor collapses to a single random point under the addition of noise.
In the first part, we consider a system that is known to synchronize under additive noise and raise the question about the nature of the long-time behavior if one adds less noise. We prove that the occurrence of synchronization depends on the strength of noise and the number of directions in which the noise acts. The crucial quantity to obtain this change of behavior is the sign of the top Lyapunov exponent. We prove a transition from positive to negative top Lyapunov exponent as the noise increases. In case of a negative top Lyapunov exponent, we conclude synchronization and in case of a positive top Lyapunov exponent, we conclude lack of synchronization.
In the second part, we analyze whether this relation between the sign of the top Lyapunov exponent and synchronization holds true in general. We give positive results based on classical results of Ruelle and provide simple examples showing a contrary behavior.
In the third part, we estimate the time which is required to approach the attractor for a class of random dynamical systems that synchronize under noise. Since the long-time dynamics of the deterministic system are in contrast to the random system not globally stable, the time required to approach the attractor goes to infinity as the noise gets small. We differ between the time a point and set requires to approach the attractor and give the rates in which both times go to infinity. These rates differ significantly.
In the fourth part, we investigate a more general property of random attractors. We analyze whether attractors which attract compact sets uniformly on a connected state space are connected. We prove connectedness of these attractors if compact sets get attracted almost surely using a pathwise argumentation. For random attractors attracting compact sets merely in probability we provide an example where the attractor is not connected.
Diese Arbeit befasst sich mit vom Rauschen herbeigeführter Synchronisation. Damit wird die stabilisierende Wirkung des Rauschens auf das Langzeitverhalten eines zufälligen dynamischen Systems beschrieben. Während der Attraktor ohne Rauschen kein einzelner Punkt ist, zieht sich der zufällige Attraktor unter Rauschen zu einem zufälligen Punkt zusammen.
Im ersten Teil betrachten wir ein System, welches dafür bekannt ist unter additivem Rauschen zu synchronisieren und stellen die Frage, inwieweit sich dieses Verhalten unter weniger Rauschen verändert. Wir beweisen, dass das Vorkommen von Synchronisation von der Stärke des Rauschens und der Anzahl der Richtungen, in denen das Rauschen wirkt, abhängt. Die entscheidende Größe, um diese Veränderung des Verhaltens zu messen, ist der Top Lyapunov Exponent. Wir zeigen einen Übergang von negativen zu positiven Top Lyapunov Exponenten, während sich das Rauschen verstärkt. Im Fall eines negativen Top Lyapunov Exponenten folgern wir Synchronisation und im Fall eines positiven Top Lyapunov Exponenten folgern wir fehlende Synchronisation.
Im zweiten Teil analysieren wir, ob diese Beziehung zwischen Top Lyapunov Exponenten und Synchronisation auch im Allgemeinen wahr ist. Wir geben positive Resultate, die auf klassischen Resultaten von Ruelle basieren, und zeigen einfache Beispiele, die ein gegensätzliches Verhalten aufzeigen.
Im dritten Teil schätzen wir die Zeit ab, die benötigt wird, um sich dem Attraktor eines zufälligen dynamischen Systems, welches unter Rauschen synchronisiert, anzunähern. Da das Langzeitverhalten des deterministischen Systems im Kontrast zu dem zufälligen System nicht global stabil ist, geht die benötigte Zeit, um sich dem Attraktor anzunähern, gegen Unendlich, wenn das Rauschen klein wird. Wir unterscheiden zwischen den Zeiten, bis sich ein Punkt und eine Menge dem Attraktor annähern und berechnen die Raten, in denen beide Zeiten gegen Unendlich gehen. Diese Raten unterscheiden sich signifikant.
Im vierten Teil untersuchen wir eine allgemeinere Eigenschaft von zufälligen Attraktoren. Wir analysieren, ob Attraktoren, welche kompakte Mengen gleichmäßig anziehen, auf einem zusammenhängenden Raum zusammenhängend sind. Wir beweisen den Zusammenhang von diesen Attraktoren, falls kompakte Mengen fast sicher angezogen werden mit Hilfe einer pfadweisen Argumentation. Für zufällige Attraktoren, welche kompakte Mengen nur in Wahrscheinlichkeit anziehen, geben wir ein Beispiel an, in dem der Attraktor nicht zusammenhängend ist.
