Loading…
In this work, we study planar graphs with prescribed face areas. This field is inspired by cartograms. A 'cartogram' is a distorted map where the size of the regions are proportional to some statistical parameter such as the population, the total birth, the gross national product, or some other special property. As a mathematical abstraction we are interested in straight-line drawings of plane graphs realizing the prescribed faces areas. We say a plane graph is 'area-universal' if every area assignment to the inner faces has a realizing straight-line drawing.
In the beginning of this thesis, not much was known. Specifically, there were three interesting facts: On the positive side, stacked triangulations and plane cubic graphs are area-universal. On the negative side, it is known that the octahedron is not area-universal. The aim of this thesis is to shed some more light into the world of area-universal graphs. The work is structured as follows:
*Chapter 1: Introduction.* The concept of area-universality is introduced and the state of the art is presented.
*Chapter 2: The Toolbox.* We introduce the basic notions and discuss properties of area-universal graphs. In particular, we introduce area-universality preserving operations and several characterizations of area-universality. These tools are used repeatedly throughout this thesis.
*Chapter 3: Triangulations.* We study area-universality of maximal plane graphs, i.e., triangulations, and develop methods to prove and disprove area-universality. For the octahedron graph, we present a new proof technique to disprove its area-universality. Our proof relies on a simple counting argument that can also be used to show that no 'Eulerian triangulation' is area-universal. The result has several interesting consequences. Among them, there is no hope for constant factor approximations of realizing drawings even in the set of 4-connected triangulations. Adding some geometric arguments, a similar reasoning can be used for disproving the area-universality of other graphs. Moreover, we develop a sufficient criterion to guarantee the area-universality of triangulations with a special vertex order. The criterion relies on the investigation of area assignment. Combining these two techniques, we can characterize the area-universality of an interesting 4-connected family of triangulations.
*Chapter 4: Quadrangulations.* We study the conjecture that all quadrangulations are area-universal. Even though we do not provide a full answer, we establish the area-universality of large classes of quadrangulations via reductions to related area-universal graphs. From our results it follows that a minimal counter example to the conjecture has at least 14 vertices.
*Chapter 5: Drawings with Bends.* Given that not all plane graphs are area-universal, we investigate how much the straight-line property must be relaxed to realize each area assignment of every plane graph. We show that the 1-subdivision of every planar graph is area-universal, i.e., one bend per edge is sufficient.
*Chapter 6: Related Concepts.* In this chapter, we study related concepts, in particular convex realizing drawings, equiareal drawings and realizing drawings for area assignments with negative values; in the latter case the drawings are not necessarily crossing-free.
*Chapter 7: Computational Complexity.* We investigate the computational complexity of area-universality and present several interesting connections to the complexity class 'universal existential theory of the reals'. In particular, we show hardness of several variants of area-universality.
*Chapter 8: Future Direction -- Air Pressure.* We transfer the idea of the air pressure method, which has previously been used in the context of area-universal rectangular layouts and seems promising to show area-universality of cubic graphs or other graph classes.
*Chapter 9: Open Problems and Conjectures.* We conclude with our favorite set of open questions and ideas for further projects related to the study of plane graphs and faces areas.
Die Arbeit beschäftigt sich mit planaren Graphen und vorgegebenen Flächeninhalten, die zum Beispiel im Bereich verzerrter Karten auftreten. Ein Kartogramm ist eine deformierte Karte, in der die Fläche jeder Region proportional zur Einwohnerzahl, der Geburtenrate oder eines anderen statistischen Parameters ist. Bisher wurden Kartogramme vor allem als proportionale Kontaktdarstellungen abstrahiert. Wir betrachten eine andere Abstraktion, bei der ein planar eingebetteter Graph mit Flächeninhalten für die inneren Flächen gegeben ist und suchen eine geradlinige Zeichnung, in der die gewünschten Flächeninhalte realisiert werden. Ein Graph heißt 'flächenuniversell', wenn für jede beliebige Flächeninhaltszuweisung eine realisierende geradlinige Zeichnung existiert. Dieses auch sehr natürliche Konzept ist bisher weit weniger untersucht.
Die bekannten Fakten lassen sich leicht zusammen fassen: Es gibt einen Graphen, den Oktaedergraph, der nicht flächenuniversell ist und zwei Klassen flächenuniverseller Graphen, die planar eingebetten kubischen Graphen und die partiellen 3-Bäume. Als Ziel dieser Arbeit wollen wir einen tieferen Einblick in die Welt flächenuniverseller Graphen erhalten. Die Arbeit gliedert sich wie folgt:
*Kapitel 1: Einleitung.* Das Konzept der Flächenuniversalität wird eingeführt und ein Überblick des aktuellen Forschungsstands präsentiert.
*Kapitel 2: Der Werkzeugkasten.* Wir beschreiben die grundlegenden Konzepte und Eigenschaften von flächenuniversellen Graphen und Operationen, bei denen die Flächenuniversalität erhalten bleibt. Des Weiteren geben wir mehrere Charakterisierungen an, die wir im Laufe der Arbeit verwenden um Flächenuniversalität zu beweisen oder zu widerlegen.
*Kapitel 3: Triangulierungen.* Wir entwickeln Techniken um die Flächenuniversalität von Triangulierungen zu beweisen und zu wiederlegen. Für den Oktaedergraph präsentieren wir ein einfaches Zählargument, dass die Flächenuniversalität widerlegt. Dieses lässt sich auf alle Eulerschen Triangulierungen anwenden. Kombiniert mit geometrischen Argumenten, lässt sich das Zählargument auch bei weiteren Graphen nutzen. Als Schlussfolgerung besitzen planare Graphen im Allgemeinen keine Zeichnungen, die die Flächeninhalte wenigstens mit einem konstanten Faktor approximieren. Des Weiteren entwickeln wir ein hinreichendes Kriterium, was auf der Analyse einer Flächenzuweisung beruht, um die Flächenuniversalität von Triangulierungen mit speziellen Kontenreihenfolgen zu garantieren. Vereint, erlauben uns diese Instrumente unter anderem die Flächenuniversalität einer interessanten Familie zu charakterisieren.
*Kapitel 4: Quadrangulierungen.* In diesem Kapitel studieren wir die Vermutung, dass Quadrangulierungen flächenuniversell sind. Mit Hilfe von Reduktionen auf verwandte flächenuniverselle Graphen zeigen wir die Flächenuniversalität großer Familien von Quadrangulierungen und bestätigen die Vermutung für Quadrangulierungen mit bis zu 13 Knoten.
*Kapitel 5: Zeichnungen mit Knicken.* Da nicht alle planaren Graphen flächenuniversell sind, untersuchen wir, wie stark die Geradlinigkeit relaxiert werden muss, um für jeden planar eingebetteten Graphen und jede Flächenzuweisung eine realisierende Zeichnung zu finden. Wir zeigen, dass jede 1-Subdivision flächenuniversell ist, daher benötigen realisierende Zeichnungen höchstens einen Knick pro Kante.
*Kapitel 6: Verwandte Konzepte.* In diesem Kapitel untersuchen wir verwandte Konzepte, insbesondere konvexe realisierende und gleichflächige Zeichnungen, sowie realisierende Zeichnungen für Flächenzuweisungen, die negative Werte beinhalten. Im letzten Fall sind die Zeichnungen im Allgemeinen nicht kreuzungsfrei.
*Kapitel 7: Komplexität.* Wir untersuchen die Komplexität des Entscheidungsproblem, ob ein gegebener Graph flächenuniversell ist, und zeigen interessante Zusammenhänge zu der Komplexitätsklasse 'universal existential theory of the reals'. Insbesondere zeigen wir, dass verschiedene Varianten dieses Problems vollständig für diese Komplexitätsklasse sind.
*Kapitel 8: Die Luftdruck-Methode.* Wir übertragen die Idee der Luftdruck-Methode, die bereits im Kontext flächenuniverseller Rechteckszerlegungen betrachtet wurde, in unser Modell.
*Kapitel 9: Offene Fragen und Vermutungen.* Abschließend präsentieren wir eine Auswahl interessanter offener Fragen für zukünftige Projekte im Bereich von planaren Graphen und Flächeninhalten.
