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This thesis addresses classical lattice point problems in discrete and convex geometry. Integer points in convex bodies are the central objects of our studies.
In the second chapter, we will prove bounds on the number of lattice points in centered convex bodies. The underlying problems are motivated by classical results in geometry of numbers. We will show that the assumption of centricity yields asymptotically comparable bounds to those which are known and well-studied for symmetric convex bodies. Moreover, by developing an approach which links lattice points in a simplex to its barycentric coordinates, the best possible upper bound for the number of lattice points in centered simplices is deduced.
The third chapter is devoted to expanding Ehrhart theory to tensor-valued Ehrhart theory. This will become apparent to be a natural generalization of the classical theory. We will examine the coefficients of the Ehrhart tensor and hr -tensor polynomials and deduce Pick-type formulas in the plane, which depend on the edge graph of the given polygon. It is an intriguing problem to extend the notion of nonnegativity to tensor-valued coefficients with regard to Stanley’s nonnegativity theorem. Therefore, a variant of Stanley’s result for rank 2 tensors in the plane will be shown; here, the notion of nonnegativity is aligned with positive semidefiniteness of matrices. It is conjectured that this also holds in higher dimensions as well. Finally, a new characterization of reflexive polytopes depending on the palindromicity of hr -tensors is given, extending a result due to Hibi.
Chapter 4 deals with discrete John-type theorems, which say that the integer points in a symmetric convex body can be approximated by a symmetric generalized arithmetic progression, or symmetric GAP for short. This represents an intuitive discretization of the famous result due to John that a symmetric convex body in d dimensions can be enclosed between an ellipsoid and its multiple by a factor of the square root of d. Tao and Vu showed that the same can indeed be done in the discrete case with a factor depending only on d. Moreover, Tao and Vu provided upper bounds for the number of lattice points in a given symmetric convex body in terms of the contained symmetric GAP. In this chapter, we will improve both results significantly. To this end, we study symmetric GAPs and their properties elaborately. Furthermore, we will discuss possible extreme cases leading to lower bounds.
Chapter 5 focuses on discrete slicing inequalities. In general, these involve bounding the discrete volume of a convex body K concerning the maximal number of lattice points in the intersection of K with linear or affine subspaces. It is discussed how the well-known Brunn’s inequality can be discretized. We also prove a fully-discretized slicing inequality exclusively involving the discrete volume. In particular, we will establish lattice point bounds for sym- metric convex bodies regarding their maximal one-dimensional slices. This yields a discrete, one-dimensional Furstenberg-Tzkoni inequality.
Diese Dissertation befasst sich mit klassischen Gitterpunktproblemen aus der diskreten und konvexen Geometrie. Ganzzahlige Punkte in konvexen Körpern sind die zentralen Objekte unserer Untersuchungen.
Im zweiten Kapitel werden wir Abschätzungen für die Anzahl der Gitterpunkten in zentrierten konvexen Körpern herleiten. Das zugrunde liegende Problem ist dabei motiviert von klassischen Resultaten aus der Geometrie der Zahlen. Wir werden zeigen, dass die Annahme der zentralen Lage eines konvexen Körpers Abschätzungen liefert, welche asymptotisch vergleichbar sind zu denen, die für symmetrische konvexe Körper bekannt sind. Indem ein Ansatz entwickelt wird, der ganzzahlige Punkte zu deren baryzentrischen Koordinaten in Verbindung setzt, werden best- mögliche Schranken für zentrierte Simplizes bewiesen.
Das dritte Kapitel ist der Erweiterung der Ehrhart Theorie zu tensorwertiger Ehrhart Theorie gewidmet. Dies wird sich als natürliche Verallgemeinerung der klassischen Theorie herausstellen. Wir werden die Koeffizienten der Ehrhart Tensoren und der hr -Tensor Polynome untersuchen und, ausgehend vom Kantengraphen eines Polygons, tensorwertige Varianten von Picks Theorem vorstellen. Ein bemerkenswertes Problem ist die Verallgemeinerung des Begriffes der Nichtneg- ativität für tensorwertige Koeffizienten in Hinblick auf Stanleys Nichtnegativitätstheorem. Eine entsprechende Variante von Stanleys Theorem für Tensoren von Rang 2 in der Ebene wird er- arbeitet, für welche der Begriff der Nichtnegativität mit dem der positiven Semidefinitheit für Matrizen zusammenfällt. Es wird zudem vermutet, dass dieses Resultat auch in höheren Di- mensionen gültig ist. Schließlich wird eine neue Charakterisierung reflexiver Polytope bezüglich der palindromischen Eigenschaft von hr -Tensoren vorgestellt, wodurch ein Resultat von Hibi verallgemeinert wird.
Kapitel 4 behandelt diskrete John Theoreme, welche aussagen, dass die ganzzahligen Punkte in einem symmetrischen konvexen Körper durch symmetrische verallgemeinerte arithmetische Progressionen (im Folgenden kurz: arithmetische Progression) approximiert werden können. Dies bildet eine intuitive Diskretisierung des bekannten Satzes von John, welcher aussagt dass ein symmetrischer konvexer Körper in d Dimensionen zwischen einem Ellipsoid und dessen Vielfachen zum Faktor der Quadratwurzel aus d eingeschlossen werden kann. Tao und Vu haben gezeigt, dass dies ebenso mittels einer arithmetischen Progression, und einem Faktor abhängig von d, möglich ist. Zudem präsen- tierten Tao und Vu obere Schranken für die Anzahl ganzzahliger Punkte in einem symmetrischen konvexen Körper bezüglich einer in diesem enthaltenen arithmetischen Progression. In diesem Kapitel werden wir beide Resultate wesentlich verbessern. Dazu werden wir arithmetische Pro- gression und deren Eigenschaften ausführlich untersuchen. Desweiteren werden mögliche Ex- tremfälle diskutiert, welche ebenfalls untere Schranken liefern.
Kapitel 5 konzentriert sich auf discrete slicing Ungleichungen. Allgemein beinhalten diese das Abschätzen ganzzahliger Punkte in einem konvexen Körper K in Abhängigkeit zu der maximalen Gitterpunktanzahl in dem Schnitt von K mit einem linearen oder affinen Unterraum. Es wird erörtert, wie die bekannte Brunns Ungleichung diskretisiert werden kann. Wir werden ebenso eine vollständig diskretisierte slicing Ungleichung beweisen, in der lediglich das diskrete Volumen vorkommt. Desweiteren wird insbesondere die Frage nach Gitterpunktabschätzungen bezüglich eindimensionaler Unterräume vollständig beantwortet werden können. Daraus ergibt sich zudem eine diskrete Furstenberg-Tzkoni Ungleichung.
