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Main Title: Target patterns and pacemakers in reaction-diffusion systems
Translated Title: Kreiswellenmuster und Wellenquellen in Reaktions-Diffusions-Systemen
Author(s): Stich, Michael
Advisor(s): Mikhailov, Alexander S.
Granting Institution: Technische Universität Berlin, Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften
Type: Doctoral Thesis
Language: English
Language Code: en
Abstract: Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit Musterbildung in Reaktions-Diffusions-Systemen. Ein typisches Muster ist das Kreiswellenmuster, welches aus konzentrischen Wellen besteht, die von einer Wellenquelle ausgesendet werden. In dieser Arbeit werden derartige Wellenquellen und durch sie entstehende Kreiswellenmuster mit analytischen und numerischen Methoden studiert. Bei der Modellierung wird zum einen berücksichtigt, dass das System oszillatorisch oder anregbar sein kann, und zum anderen, dass Wellenquellen aus Heterogenitäten des Mediums oder selbstorganisiert entstehen können. Bei der Untersuchung heterogener Wellenquellen in oszillatorischen Systemen in der Nähe einer Hopf-Bifurkation werden zwei Schwerpunkte gesetzt. Erstens werden die Bedingungen zur Erzeugung von Wellenquellen und ausgedehnten Kreiswellenmustern sowie von Wellensenken und lokalisierten Wellenmustern systematisch abgeleitet. Insbesondere wird geklärt, unter welchen Umständen rein- bzw. rauslaufende Kreiswellen auftreten und welche Auswirkungen große Heterogenitäten haben. Zweitens werden hochfrequente Wellenquellen betrachtet. In diesem Fall treten Eckhaus-instabile Wellen auf, die ringförmige Amplitudendefekte und weiteres komplexes Verhalten hervorrufen. Für besonders hochfrequente Wellenquellen entstehen die Amplitudendefekte bereits an der Grenze der Wellenquelle, was als lokales Desynchronisationsphänomen erklärt wird. Auch Wellensenken können die raum-zeitliche Dynamik des ausgedehnten Systems entscheidend beeinflussen indem sie die Wellen anderer Muster unterbrechen. Motiviert dadurch, dass ein oszillatorisches System in der Nähe einer Hopf-Bifurkation nicht in der Lage ist, stabile, selbstorganisierte Wellenquellen hervorzubringen, wird zur Modellierung selbstorganisierter Wellenquellen ein System vorgeschlagen, das sich in der Nähe einer Heugabel-Hopf-Bifurkation befindet. Dazu wird zunächst mit Hilfe der Normalformtheorie die Amplitudengleichungen für ein solches Medium hergeleitet und diskutiert. Ein wesentliches Merkmal des Systems ist, dass es birhythmisch ist, d.h., dass zwei verschiedene Grenzzyklen gleichzeitig stabil sein können. Es wird analytisch und numerisch gezeigt, dass das Modell stabile selbstorganisierte Wellenquellen hervorbringen kann und dass derartige Wellenquellen driften können, wenn Parameter einem räumlichen Gradienten unterliegen. Die Wechselwirkung von Wellenquellen wird numerisch untersucht. Neben koexistierenden Wellenquellen wird auch globale Inhibierung anderer Wellenquellen nachgewiesen. Wenn sich die Frequenzen der Grenzzyklen stark unterscheiden, sind Eckhaus-instabile Wellen möglich, die die Wellenquellen destabilisieren können. Weiterhin sind kinetische Instabilitäten der Wellenquellen möglich, bei denen die Begrenzungen der Wellenquellen oszillieren. Selbstorganisierte Wellenquellen können auch in anregbaren Medien entstehen, sind jedoch in der Regel instabil. In dieser Arbeit wird auf der Basis des FitzHugh-Nagumo-Modells ein dreikomponentiges Aktivator-Inhibitor-System vorgestellt, in dessen anregbaren Regime stabile selbstorganisierte Wellenquellen entstehen können. Die Bildung von stabilen selbstorganisierten Wellenquellen ist möglich, wenn sich das System in der Nähe relaxationaler Oszillationen befindet, die zusätzliche Komponente stark diffundiert und wenn diese den Inhibitor ausreichend inhibiert. Für ein solches System gibt es auch die Möglichkeit der Bistabilität von Pulslösungen. Durch die Wechselwirkung verschiedener Pulslösungen miteinander können Wellenquellen entstehen und auch zu anderen Szenarien komplexer raum-zeitlicher Dynamik führen. Für den Fall verschwindender Aktivatordiffusion werden die Wellen, die von einer Wellenquelle ausgesendet werden, instabil und raum-zeitliches Chaos entsteht. Diese Arbeit präsentiert somit neue Ergebnisse zur Dynamik großer und hochfrequenter heterogener Wellenquellen und weist erstmalig nach, dass selbstorganisierte Wellenquellen in birhythmischen und anregbaren Systemen stabil existieren können.
Pattern formation in systems far from thermal equilibrium is a fascinating phenomenon. Reaction-diffusion systems are an important type of system where pattern formation is observed. The target pattern and the associated wave source called pacemaker are typical patterns in such systems. This thesis studies pacemakers and target patterns systematically by analytical and numerical means. The underlying dynamics of the system may be oscillatory or excitable and the pacemakers may either consist of spatial heterogeneities of the medium or be self-organized, i.e. result of intrinsic processes. The investigation of heterogeneous pacemakers in oscillatory systems in the framework of the complex Ginzburg-Landau equation focuses on two aspects. First, the conditions of the creation of pacemakers and extended target patterns versus the creation of wave sinks and localized target patterns are derived systematically. In particular, inward traveling target patterns and large heterogeneities are discussed. Then, pacemakers which emit target waves with high frequencies are considered. In this case, the waves become Eckhaus unstable, causing ring-shaped amplitude defects or other complex patterns. For even larger frequencies, the amplitude defects already take place at the boundary of the heterogeneity, giving rise to a localized desynchronization phenomenon. Moreover, wave sinks can have a significant impact on the spatio-temporal dynamics of the system by breaking the waves arriving from other wave sources. It is well known that oscillatory media close to a Hopf bifurcation are not able to give rise to stable self-organized pacemakers. Therefore, to model such pacemakers, a system close to a pitchfork-Hopf bifurcation is proposed. The normal form and amplitude equations of the pitchfork-Hopf bifurcation are derived. Such a system displays birhythmicity, i.e. bistability of limit cycles, and it is demonstrated analytically that stable self-organized pacemakers are possible. Simulations confirm the existence of stable self-organized pacemakers. In the presence of a parameter gradient, such patterns drift, as shown analytically and numerically. The interaction between pacemakers is studied numerically, giving rise either to coexisting pacemakers or to a new phenomenon called global inhibition: Established pacemakers suppress new cores or merge with them. When the frequencies of the limit cycles differ strongly, the waves may become Eckhaus unstable and the pacemaker may destabilize. Furthermore, kinetic instabilities of the pacemakers are possible, creating breathing and swinging pacemakers. Self-organized pacemakers in excitable media are usually unstable. In this thesis, a three-component activator-inhibitor system on the basis of the FitzHugh-Nagumo model is proposed that gives rise to stable self-organized pacemakers in the excitable regime. The formation of such patterns is demonstrated if several conditions are fulfilled: The system is close to relaxational oscillations, the additional component is strongly diffusive, and the additional component inhibits the inhibitor. Moreover, bistability of pulse solutions is observed in such a system. Different pulses can interact and may create pacemakers. Alternatively, other complex spatio-temporal dynamics is observed. If the diffusion of the activator vanishes, the waves emitted by the wave source are unstable and spatio-temporal chaos appears. Thus, this thesis presents new results on the dynamics of pacemakers with large frequencies and demonstrates for the first time the possibility of stable self-organized pacemakers in birhythmic and excitable systems.
URI: urn:nbn:de:kobv:83-opus-6759
http://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/1071
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-774
Exam Date: 20-Feb-2003
Issue Date: 17-Mar-2003
Date Available: 17-Mar-2003
DDC Class: 530 Physik
Subject(s): Musterbildung
nichtlineare Dynamik
dissipative Strukturen
Pattern formation
nonlinear dynamics
dissipative structures
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