Please use this identifier to cite or link to this item: http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-9808
For citation please use:
Main Title: Thoughts on harmonic analysis on the sphere: spherical wavelet frames and kernels
Translated Title: Gedanken über die harmonische Analyse der Kugel: sphärische wavelet-Frames und Kernel
Author(s): Sun, Yizhi
Advisor(s): Schneider, Reinhold
Referee(s): Schneider, Reinhold
Dahlke, Stephan
Granting Institution: Technische Universität Berlin
Type: Doctoral Thesis
Language Code: en
Abstract: In the central spirit of harmonic analysis lies the concept of effectively decomposing, analyzing and representing functions or functionals. It has lead to the flourish of Fourier analysis and its modern descendants such as wavelets and its siblings. Especially, the construction of spherical wavelets and its related theory is at junior age. This dissertation gives a brief summary of existing results in this field on the one hand, creates spherical alpha-wavelets and further develops spherical kernel theory on the other hand. Among various strategies, two types of spherical wavelets are emphasized, one constructed in the frequency domain, the other generated through stereographic projection. In the former one I discuss localized tight frame design and its directional extension. In the latter one a new anisotropic dilation is defined, and a representation system generated by it consists of the so called spherical \alpha-wavelets/shearlets. Summability properties of those wavelets/shearlets are well established once they are restricted to certain subspaces of square-integrable functions newly defined in this dissertation, including the so called hollow pole functions. Kernels, though deeply rooted in classical theory, can find its variation and application in the frame theory. Indeed, frame kernel, a concept which is proposed in this dissertation, is an equivalent formulation to the frame itself. Besides, there exist a variety of kernels which exhibit their own special properties. For zonal kernels, I give its necessary and sufficient conditions to approximate square integrable functions on the sphere. Multiscale kernel, a recently appeared concept, will meet its spherical version here and it turns out to have reproducing property for certain Hilbert space of spherical functions. One of the climaxes in this work is the invention of two novel frames, based on the two spherical wavelets constructions. In the zonal kernel approach I give frame properties inside the multiresolution structure; while for alpha-wavelets, I prove that under certain conditions they form tight frames in continuous and discrete setting respectively, following from which are reproducing formulae that enable us to reconstruct or approximate numerically an integrable function or solutions of PDEs. Based on the obtained frames a spherical Galerkin scheme is proposed afterwards. At the end of this dissertation I give an inner product formula with respect to a recently emerged surface-value dependent inner product space on a triangular mesh and prove its equivalence to the combinatoric inner product.
Ein zentraler Aspekt der Harmonischen Analysis ist die effiziente Zerlegung, Analyse und Repräsentation von Funktionen und Funktionalen. Diese Konzepte führten zu einem Aufblühen der Fourier Analysis und deren jüngsten Teilgebiete, wie Wavelets und verwandte Methoden. Dabei befindet sich insbesondere die Konstruktion von sphärischen Wavelets und die damit verbundene Theorie noch in den Anfängen ihrer Entwicklung. Die vorliegende Dissertation gibt einen Überblick über bereits existierende Resultate in diesem Bereich und entwickelt neuartige Instrumente, wie z.B. sphärische Wavelets und sphärische Kernels. Ein besonderes Augenmerk liegt dabei auf zwei Typen von sphärischen Wavelets: Zum einen eine Konstruktion im Frequenzbereich und zum anderen eine Konstruktion durch stereographische Projektionen. Hinsichtlich der Erzeugung im Frequenzbereich werden aktuelle Fortschritte im Bereich des Localized-tight-Frame und deren richtungsabhängige Erweiterungen diskutiert. In den Ausführungen über die Erzeugung von Wavelets durch stereographische Projektionen wird andererseits ein neues Konzept von richtungsabhängigen Dilationen eingeführt, was schließlich zu sogenannten sphärischen alpha-Wavelets/Shearlets führt. In diesem Zuge können Summierbarkeitseigenschaften hergeleitet werden, nachdem die konstruierten Wavelets/Shearlets auf einen Unterraum von L^2 Funktionen eingeschränkt wurden, was insbesondere sogenannte Hollow-Pole Funktionen einschließt. Es wird sich herausstellen, dass klassische Kernels ebenfalls sehr vielfältige Anwendungsmöglichkeiten in der modernen Frame-Theorie haben. In diesem Kontext wird das Konzept von Frame-Kernels eingeführt, welches eine äquivalente Formulierung der Frame-Eigenschaft ermöglicht. Darüber hinaus werden noch weitere Beispiele von Kernels hinsichtlich ihrer speziellen Eigenschaften untersucht. Für Zonal-Kernels werden notwendige und hinreichende Bedingungen gezeigt, sodass diese quadratisch integrierbare Funktionen auf der Sphäre approximieren. Schließ lich wird eine sphärische Version von Multiskalen-Kernels hergeleitet und es wird gezeigt, dass diese für spezielle Hilberträume von sphärischen Funktionen die Reproduzierbarkeitseigenschaft besitzen. Ein Hauptergebnis dieser Arbeit bildet die Erfindung von zwei neuartigen Frame-Typen, basierend auf den zwei obengenannten Konstruktionen von sphärischen Wavelets. Hinsichtlich des Zonal-Kernel-Ansatzes wird die Frame-Eigenschaft innerhalb der Multiskalenstuktur nachgewiesen. Für alpha-Wavelets dahingegen wird bewiesen, dass diese unter bestimmten Annahmen Tight-Frames sowohl im kontinuierlichen als auch im diskreten Sinne bilden. Daraus folgt insbesondere die Reproduzierbarkeitseigenschaft, die die exakte Rekonstruktion von integrierbaren Funktionen oder Lösungen der partiellen Differentialgleichungen ermöglicht. Auf der Grundlage der erhaltenen Frames wird anschließ end ein sphärischer Galerkin-Ansatz vorgeschlagen. Zum Abschluss der Arbeit wird eine Formel für das innere Produkt eines kürzlich eingeführten Prä-Hilbertraums bewiesen, der auf einem Dreiecksnetz definiert ist.
URI: https://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/10915
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-9808
Exam Date: 27-Nov-2019
Issue Date: 2020
Date Available: 27-Oct-2020
DDC Class: 500 Naturwissenschaften und Mathematik
Subject(s): spherical alpha-wavelet/shearlet
spherical frames
hollow pole functions
kernel approximation
spherical dilation
sphärische alpha-Wavelets/Shearlets
sphärische Frames
Hollow-Pole-Funktionen
Kernel-Näherung
sphärische Streckung
License: https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/
Appears in Collections:Inst. Mathematik » Publications

Files in This Item:
sun_yizhi.pdf
Format: Adobe PDF | Size: 890.98 kB
DownloadShow Preview
Thumbnail

Item Export Bar

This item is licensed under a Creative Commons License Creative Commons