Please use this identifier to cite or link to this item: http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-9846
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Main Title: Stochastic systems with time delay
Subtitle: probabilistic and thermodynamic descriptions of non-Markovian processes far from equilibrium
Translated Title: Stochastische Systeme mit Zeitverzögerung
Translated Subtitle: wahrscheinlichkeitstheoretische und thermodynamische Beschreibungen von nicht-Markovschen Prozessen fern ab vom thermodynamischen Gleichgewicht
Author(s): Loos, Sarah Anna Marie
Advisor(s): Klapp, Sabine
Referee(s): Klapp, Sabine
Kroy, Klaus
Granting Institution: Technische Universität Berlin
Type: Doctoral Thesis
Language Code: en
Abstract: In addition to the ever-present random fluctuations due to noise, many systems in biology, physics and technology involve discrete time delay, stemming, e.g., from finite information transmission times. The combination of noise and delay yields non-Markovian dynamics describable by time-nonlocal Langevin equations with a delta-peaked memory kernel. Despite their omnipresence, the understanding of stochastic systems with time delay is yet in its infancy. This is especially true in the presence of nonlinear forces, which are ubiquitous in realistic situations. In this thesis, we consider a Brownian particle subject to nonlinear forces and time-delayed feedback. This represents an experimentally accessible and analytically treatable prototype of a non-Markovian, intrinsically nonequilibrium system. We consider two important cornerstones of statistical physics: probabilistic descriptions and thermodynamic laws. Both have proven themselves to be valuable frameworks to describe passive particles with time-local equations. And both are, so far, not well-understood for time-delayed systems. It is already known that the Fokker-Planck description for delayed systems is given by an infinite hierarchy of coupled equations. We compare different derivations of this hierarchy, and further present a new, simpler approach by means of a Markovian embedding technique. Further, we consider the first member of the hierarchy, which has been used in earlier literature as starting point for approximation schemes aiming for the one-time probability density of nonlinear systems. One conceptual disadvantage of the existing approximations is that they effectively render Markovian descriptions, thus, do not capture the essence of the process with memory. To tackle this problem, we propose a new scheme, called the force-linearization closure, which yields a non-Markovian description at the cost of negligence of nonlinear effects in higher-order terms. By application to a bistable and a periodic model, we demonstrate that the resulting one-time probability densities are more accurate than earlier approximations from the literature, in particular, the perturbation theory and the small delay expansion. We further show that the insights provided by the one-time probability alone are limited. This is because the dynamics is crucially determined by the memory, and, subsequently, the temporal correlations. In this spirit, we also shed light on the higher members of the hierarchy, and introduce a new approach aiming for the two-time joint probability density, allowing us to finally describe non-Markovian dynamical effects, e.g., delay-induced oscillations. To the best of our knowledge, this is the only approach on the Fokker-Planck level yet that captures this dynamical state. Turning to thermodynamic quantities, we first focus on the net steady-state heat flow, which is accessible via the framework of stochastic thermodynamics. We show that the feedback inevitably leads to a finite heat flow, even for vanishingly small delay. We link the heat flow at small delay times to “entropy pumping”, which is a phenomenon that is already established for Markovian systems subject to velocity-dependent driving. Application to our bistable model further reveals that the feedback induces heating as well as cooling regimes, and leads to a maximum of medium entropy production at coherence resonance conditions. We further discuss the possibility to quantify the irreversibility and the distance from equilibrium. Here we immediately encounter a fundamental problem, i.e., the notion of total entropy production of non-Markovian systems. As an attempt to address this problem, we additionally include the feedback controller state explicitly in the model. To this end, we step away from the discrete delay and consider systems subject to distributed delay and colored noise. These systems can be represented (via Markovian embedding) by Markovian networks, which can be treated by the standard formalism. We demonstrate that a non-monotonic memory kernel in the Langevin equation is inextricably linked to non-reciprocal coupling. Further, we show that the non-reciprocity alone implies a finite entropy production. We derive a generalized second law involving information flow. Discrete time delay is recovered as the infinite-dimensional limit. Here the entropy production diverges, implying unbounded cost for precisely storing a Brownian trajectory. Our considerations further reveal connections between memory, feedback, and activity, and show that these phenomena are all describable by the same unifying concept, i.e., non-reciprocal coupling.
Neben zufälligen Fluktuationen aufgrund des allgegenwärtigen Rauschens in unserer Welt, spielen in vielen natürlichen und technologischen Prozessen Gedächtniseffekte, d. h. Geschichtsabhängigkeiten, eine Rolle. Gedächtnis kann beispielsweise in Form von Zeitverzögerungen auftreten, die wiederum von endlich schnellen Informationsübertragungen oder Signallaufzeiten hervorgerufen werden. Durch die Kombination von Rauschen und Zeitverzögerung, oder Gedächtnis im Allgemeinen, entsteht nicht-Markovsche Dynamik, welche mit Hilfe von zeitlich nichtlokalen Langevin-Gleichungen mit delta-verteilten Gedächtnisfunktionen beschrieben werden kann. Trotz ihrer Omnipräsenz sind stochastische Systeme mit Gedächtnis noch nicht gut verstanden. Das gilt vor allem, wenn zusätzlich nichtlineare Kräfte auf das System wirken, wie es in realistischen Situationen im Grunde immer der Fall ist. In dieser Arbeit untersuchen wir ein Brownsches Teilchen, auf welches sowohl nichtlineare Kräfte als auch eine zeitverzögerte Rückkopplungskontrolle wirken. Damit betrachten wir ein experimentell zugängliches und analytisch behandelbares Beispiel, das als Prototyp für ein nicht-Markovsches, intrinsisches nicht-Gleichgewichtssystem angesehen werden kann. Wir konzentrieren uns auf zwei wichtige Eckpfeiler der Statistischen Physik: Wahrscheinlichkeitsbeschreibungen und Thermodynamik. Beide theoretische Konzepte haben sich als ausgesprochen wertvoll zur Beschreibung passiver Teilchen mit zeitlich lokalen Gleichungen erwiesen, und beide sind bislang für Systeme mit Gedächtnis unzureichend verstanden. Es wurde bereits vor über 20 Jahren gezeigt, dass die Fokker-Planck-Beschreibung für Systeme mit Zeitverzögerung eine unendliche Hierarchie von gekoppelten Gleichungen liefert. Wir vergleichen verschiedene, in früherer Literatur vorgeschlagene Herleitungen dieser Hierarchie. Darüber hinaus entwickeln wir einen neuen, konzeptionell einfacheren Ansatz, der auf einer sogenannten Markovschen Einbettung basiert. Außerdem betrachten wir das erste Glied der unendlichen Hierarchie genauer. Diese Gleichung wurde in der Vergangenheit benutzt um Approximationen für die einzeitige Wahrscheinlichkeitsdichte zu entwickeln. Ein konzeptioneller Nachteil bekannter Verfahren besteht darin, dass sie effektiv Markovsche Beschreibungen liefern, und somit die Essenz der Prozesse mit Gedächtnis nicht wirklich zu erfassen vermögen. Um dieses Problem anzugehen, schlagen wir ein neues Schema vor, welches wir “Force-linearization closure” nennen. Dieses Verfahren liefert eine echte nicht-Markovsche Beschreibung auf Kosten der Vernachlässigung von Nichtlinearitäten in den höheren Ordnungen. Durch die Anwendung auf ein bistabiles und auf ein periodisches Modell zeigen wir, dass die resultierenden einzeitigen Wahrscheinlichkeitsdichten genauer sind als die von früheren Approximationen, nämlich der Störungstheorie oder der sogenannten “Small delay expansion”. Weiterhin zeigen wir, dass die Erkenntnisse, die eine isolierte Betrachtung der einzeitigen Wahrscheinlichkeitsdichte allein liefern, begrenzt sind. Dies liegt daran, dass die Dynamik entscheidend durch das Gedächtnis bestimmt wird, also von nichttrivialen zeitlichen Korrelationen. Aus diesem Grund untersuchen wir auch die höheren Glieder der Hierarchie. Insbesondere schlagen wir einen neuen Ansatz vor, der auf die zweizeitige Verbundswahrscheinlichkeitsdichte abzielt. Dieser neue Ansatz erlaubt das Beschreiben von dynamischen, nicht-Markovschen Effekten, z. B. von durch das Gedächtnis induzierten Oszillationen. Soweit uns bekannt, ist dies der erste Ansatz auf Fokker-Planck-Ebene, der solch komplexe nicht-Markovsche Dynamik erfassen kann. Danach wenden wir uns der Betrachtung thermodynamischer Größen zu. Hierbei konzentrieren wir uns zunächst auf die Wärmeproduktion im stationären Zustand. Die passenden Formeln für diese Größe liefert die stochastische Thermodynamik. Wir zeigen, dass die Rückkopplungskontrolle zwangsläufig zu Wärmeproduktion führt, selbst wenn die Zeitverzögerung verschwindend klein ist. Wir führen diese Wärmeproduktion bei kleinen Verzögerungszeiten auf das Phänomen des “Entropiepumpens” zurück. Letzteres ist für Markovsche Systeme bereits ein bekanntes Phänomen, das durch geschwindigkeitsabhängige Kräfte hervorgerufen wird. Als konkretes Beispiel für ein nicht-Markovsches System betrachten wir wieder das bistabile Modell. Wir zeigen, dass die Rückkopplung sowohl wärmend, als auch abkühlend wirken kann. Des Weiteren weisen wir nach, dass die mittlere Mediumsentropieproduktion ein Maximum bei Kohärenzresonanzbedingungen hat. Zum Schluss wollen wir die Irreversibilität des Prozesses quantifizieren. Hierbei stoßen wir auf ein grundlegendes Problem: die Berechnung der totalen Entropieproduktion nicht-Markovscher Systeme. Als Versuch, dieses Problem für die hier betrachteten Beispiele anzugehen, nehmen wir die externe Kontroll-Apparatur explizit mit in das Modell auf. Zu diesem Zweck lösen wir uns von den Systemen mit diskreter Zeitverzögerung und betrachten nun Systeme mit verteiltem Gedächtnis und farbigem Rauschen. Diese können durch Markovsche Netzwerke (über die Markovsche Einbettung) dargestellt werden, was wiederum die Anwendung des etablierten Standardformalismus ermöglicht. Wir zeigen, dass eine nicht-monoton abfallende Gedächtnisfunktion in der Langevin-Gleichung untrennbar mit nicht-reziproken Kopplungen im zugehörigen Netzwerk verbunden ist. Des Weiteren zeigen wir, dass bereits das alleinige Auftreten einer nicht-reziproken Kopplung eine endliche Entropieproduktion mit sich bringt. Wir leiten einen verallgemeinerten zweiten Hauptsatz der Thermodynamik her, der den auftretenden Informationsfluss enthalt. Der ursprünglich betrachtete Fall der diskreten Zeitverzögerung stellt hier den Grenzfall eines unendlich großen Markovschen Netzwerks dar. In diesem Grenzfall finden wir eine divergierende Entropieproduktion. Dieser Fund impliziert unbegrenzte Kosten für das präzise Speichern einer Brownschen Trajektorie. Darüber hinaus zeigen unsere Überlegungen Zusammenhänge zwischen Gedächtnis, Rückkopplung und Aktivität auf. All diese Phänomene sind durch dasselbe vereinigende Konzept beschreibbar, nämlich durch nicht-reziproke Kopplung.
URI: https://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/10956
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-9846
Exam Date: 13-Mar-2020
Issue Date: 2020
Date Available: 16-Apr-2020
DDC Class: 530 Physik
519 Wahrscheinlichkeiten, angewandte Mathematik
Subject(s): stochastic differential equations
Fokker-Planck equations
non-Markovian processes
stochastic thermodynamics
time-delayed feedback
stochastische Differentialgleichungen
Fokker-Planck-Gleichungen
Nicht-Markovsche-Prozesse
stochastische Thermodynamik
zeitverzögerte Rückkopplungskontrolle
Sponsor/Funder: DFG, SFB 910, Kontrolle selbstorganisierender nichtlinearer Systeme: Theoretische Methoden und Anwendungskonzepte
License: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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