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dc.contributor.advisorYanchuk, Serhiy-
dc.contributor.authorRuschel, Stefan-
dc.date.accessioned2020-05-12T08:45:06Z-
dc.date.available2020-05-12T08:45:06Z-
dc.date.issued2020-
dc.identifier.urihttps://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/10985-
dc.identifier.urihttp://dx.doi.org/10.14279/depositonce-9876-
dc.description.abstractThis thesis addresses the dynamical behavior of Delay Differential Equations (DDEs) with a multiple time-scale structure as a consequence of large delays, or additional small parameters. More specifically, it gives attention to the effects of delay-induced instabilities of equilibrium solutions as well as families of equilibrium solutions and discusses the corresponding nonlinear dynamical phenomena that are not direct consequences of finite-dimensional geometric theory for Ordinary Differential Equations. When studying such systems of DDEs close to equilibrium, one is first concerned with the spectral properties of a corresponding linearized system. Using an asymptotic approach, a rigorous description of the spectrum of linear DDEs with multiple hierarchical large delays is provided. It is shown that the spectrum splits into two distinct parts: the strong spectrum and the pseudo-continuous (or weak) spectrum reflecting the hierarchical structure of the delays. It is shown that a generic destabilization, a so-called weak instability, is mediated by a subset of the pseudo-continuous spectrum crossing the imaginary axis, that is associated with the largest delay in the system. On the basis of three specific examples motivated from Mathematical Biology as well as Laser Dynamics, and applying the available invariant manifolds theory for semiflows, these results are then used to illuminate the nonlinear dynamical behavior of DDEs close to families of weakly unstable equilibrium solutions. In order to demonstrate how this local information can be lifted to understand the global dynamics, a specific 2-delay epidemiological model is analyzed. Here, the dynamics away from the manifold can be studied independently of the center direction, and the case of weak-instability is studied in detail. The obtained results are then interpreted in the biological context and allow for valuable insight into consequences of delays and imperfect implementation of isolation in infectious disease management. Thereafter, the focus changes towards DDEs with a single large delay and an additional small parameter. Here, the obtained results are used to study reduced systems, where the slow time-scale has been eliminated and the problem is reduced to the local study of families of equilibrium solutions. In particular, it is shown how the weak instability of the “laser off” state of the Lang-Kobayashi laser model translates into weakly chaotic solutions bearing some analogy to the weak-strong splitting of the spectrum of the autonomous linear system. Finally, it is shown that geometric singular perturbation theory of DDEs has aspects that are fundamentally different from singular geometric perturbation theory for Ordinary Differential Equations. A minimal model is studied, where delay induces switched states. Necessary conditions for their existence are derived, and the case of weak-instability of the corresponding family of equilibrium solutions is studied in detail.en
dc.description.abstractGegenstand dieser Dissertation ist die Dynamik von Delay Differentialgleichungssystemen (DDEs) mit Zeitskalentrennung aufgrund großer Zeitverzögerungen, oder zusätzlicher kleiner Systemparameter. Insbesondere werden die Auswirkungen verzögerungsinduzierter Instabilitäten auf Gleichgewichtslösungen, oder Familien von Gleichgewichtslösungen aufgezeigt, und nichtlineare dynamische Phänomene untersucht, die nicht unmittelbar mit Mitteln der geometrischen Theorie endlich-dimensionaler gewöhnlicher Differentialgleichungen beschreibbar sind. Werden Systeme dieser Art auf ihre Gleichgewichtslösungen hin untersucht, so steht zunächst das Spektrum des entsprechenden linearisierten Systems im Vordergrund. Als eines der Hauptergebnisse dieser Arbeit wurde gezeigt, dass das Spektrum von linearen Delay Differentialgleichungen mit mehreren hierarchischen großen Zeitverzögerungen in zwei Teile zerfällt: das starke Spectrum und das pseudo-continuierliche (oder schwache) Spektrum. Eine generische Destabilisierung, eine in dem Fall sogenannte schwache Instabilität, wird durch eine Teilmenge des pseudo-kontinuierlichen Spektrums vermittelt, welche mit der größten Zeitverzögerung in Verbindung gebracht werden kann. Anhand dreier spezifischer Beispiele aus der Mathematischen Biologie und der Laser Dynamik, und mithilfe der verfügbaren Theorie invarianter Mannigfaltikeiten von Halbflüssen, wurden diese Ergebnisse auf das Verhalten von Lösungen in der Umgebung von Familien von schwach instabilen Gleichgewichtslösungen angewendet. Um zu demonstrieren wie das Wissen um das lokale Verhalten auf die globale Dynamik übertragen werden kann, wird ein spezifisches epidemiologisches Model mit zwei Delays untersucht. In diesem speziellen Fall, kann die Dynamik unabhängig von der Richtung entlang der Mannigfaltigkeit betrachtet und der Fall schwacher Instabilität im Detail untersucht werden. Die Ergebnisse werden anschließend im biologischen Kontext interpretiert und erlauben mathematische Einsicht in die Auswirkungen von Zeitverzögerungen und Unzulänglichkeiten in der Isolation im Hinblick auf die Eindämmung ansteckender Krankheiten. Im Anschluss, richtet sich der Fokus der Arbeit auf DDEs mit großer Zeitverzögerung und einem kleinen Parameter. Die erbrachten Resultate werden hier angewendet um formale, reduzierte Systeme und die entsprechenden Familien von Gleichgewichtslösungen zu untersuchen. Insbesondere wird gezeigt, wie die schwache Instabilität der trivialen Lösung des Lang-Kobayashi Laser Models sich, in Analogie zum autonomen Fall, in den schwach-chaotischen Lösungen des Systems wiederfindet. Abschließend wird gezeigt, dass die singuläre Störungstheorie von DDEs Lösungen zulässt, die nicht mit Mitteln Gewöhnlicher Differentialgleichungen erklärt werden können, etwa sogenannte delay-induced switched states. Notwendige Bedingungen für die Existenz solcher Lösungen und der Fall schwacher Instabiltät von Gleichgewichtslösungen des entsprechenden reduzierten Systems, werden im Detail untersucht.de
dc.language.isoenen
dc.rights.urihttps://creativecommons.org/licenses/by/4.0/en
dc.subject.ddc515 Analysisde
dc.subject.otherdelay differential equationsen
dc.subject.othernonlinear dynamicsen
dc.subject.othermultiple delaysen
dc.subject.othermultiple time scalesen
dc.subject.otherlarge delayen
dc.subject.otherDelay-Differentialgleichungde
dc.subject.othernichtlineare Dynamikde
dc.subject.othermehrfache Delaysde
dc.subject.otherMehrskalenanalysede
dc.subject.othergroßes Delayde
dc.titleMultiple time-scale delay systems in mathematical biology and laser dynamicsen
dc.typeDoctoral Thesisen
tub.accessrights.dnbfreeen
tub.publisher.universityorinstitutionTechnische Universität Berlinen
dc.contributor.grantorTechnische Universität Berlinen
dc.contributor.refereeLüdge, Kathy-
dc.contributor.refereeTuraev, Dmitry-
dc.contributor.refereeYanchuk, Serhiy-
dc.date.accepted2019-07-29-
dc.title.translatedVielzeitskalensysteme mit Zeitverzögerung in der Mathematischen Biologie und Laser-Dynamikde
dc.type.versionacceptedVersionen
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