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Main Title: Polyhedral surfaces of constant curvature and discrete uniformization
Translated Title: Polyedrische Flächen konstanter Krümmung und diskrete Uniformisierung
Author(s): Kourimská, Hana
Advisor(s): Springborn, Boris
Referee(s): Springborn, Boris
Crane, Keenan
Granting Institution: Technische Universität Berlin
Type: Doctoral Thesis
Language Code: en
Abstract: In this thesis we introduce a new discretization of the Gaussian curvature on piecewise flat surfaces. It is defined on the conical singularities of the surface and it is the quotient of the angle defect and the area of the Voronoi cell. We investigate the existence and uniqueness of metrics with constant discrete Gaussian curvature within discrete conformal classes of piecewise flat surfaces. Two piecewise flat surfaces with a fixed triangulation are discrete conformally equivalent if there exists a conformal factor u i at each vertex i of the triangulation, such that the lengths of each edge ij with respect to the two piecewise linear metrics are related by the factors at the vertices. However, this notion is not suitable for proofs of existence and uniqueness, since it relies on fixed combinatorics. We use a generalization of this notion, based on hyperbolic geometry. We derive several variational principles and prove that every discrete conformal class possesses a piecewise linear metric with constant discrete Gaussian curvature. Although many notions are defined for euclidean triangular meshes, we show that our method is in fact independent of the choice of triangulation and is thus well-defined for piecewise flat surfaces. To tackle the question of uniqueness we conduct a thorough analysis of discrete conformal classes of a fixed genus and number of vertices. We prove that uniqueness holds for spheres with three marked points and surfaces of genus larger than zero with one marked point. We provide explicit counterexamples for uniqueness by analyzing the discrete conformal classes of spheres with four marked points and surfaces of genus two with two marked points.
In dieser Arbeit führen wir eine neue Diskretisierung der Gaußschen Krümmung auf stückweise flachen Flächen ein. Diese Krümmung ist definiert als der Quotient des Winkeldefekts und des Flächeninhalts der Voronoizelle. Wir untersuchen die Existenz und Eindeutigkeit von Metriken konstanter diskreter Gaußscher Krümmung in den diskreten konformen Klassen von stückweise flachen Flächen. Zwei stückweise flache Flächen mit einer festen Triangulierung sind diskret konform äquivalent, falls an jeder Ecke i der Triangulierung ein konformer Faktor u_i existiert, so dass die Längen jeder Kante ij bezüglich der stückweise linearen Metriken in einer bestimmten Beziehung stehen. Dieser Begriff ist jedoch nicht für Existenz- und Eindeutigkeitsbeweise geeignet, da er sich auf eine feste Kombinatorik bezieht. Wir benutzen eine Verallgemeinerung dieses Begriffs, die auf hyperbolischer Geometrie basiert. Wir leiten mehrere Variationsprinzipien her und zeigen, dass jede diskret konforme Klasse eine stückweise lineare Metrik mit konstanter diskreter Gaußscher Krümmung beinhaltet. Obwohl viele Begriffe für Euklidische Triangulierungen definiert sind, zeigen wir, dass unsere Methode unabhängig von der Wahl der Triangulierung ist. Daher ist sie auf stückweise flachen Flächen wohldefiniert. Zur Frage der Eindeutigkeit führen wir eine weitreichende Untersuchung der diskreten konformen Klassen auf Flächen vom festen Geschlecht und mit einer festen Anzahl an markierten Punkten durch. Wir beweisen, dass die Eindeutigkeit für Sphären mit drei markierten Punkten und Flächen vom Geschlecht größer als Null mit einem markierten Punkt gilt. Wir konstruieren Gegenbeispiele in den diskreten konformen Klassen auf der Sphäre mit vier markierten Punkten und der Fläche vom Geschlecht zwei mit zwei markierten Punkten um zu zeigen, dass die Eindeutigkeit im Allgemeinen nicht gilt.
URI: https://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/10991
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-9883
Exam Date: 9-Mar-2020
Issue Date: 2020
Date Available: 20-May-2020
DDC Class: 516 Geometrie
Subject(s): polyhedral surfaces
discrete Gaussian curvature
discrete uniformization theorem
polyedrische Fläche
diskrete Gaußsche Krümmung
diskretes Uniformisierungstheorem
License: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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