Please use this identifier to cite or link to this item: http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-828
Main Title: Two essays on incomplete markets
Author(s): Esche, Felix
Advisor(s): Schweizer, Martin
Granting Institution: Technische Universität Berlin, Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften
Type: Doctoral Thesis
Language: English
Language Code: en
Abstract: In dieser Dissertation untersuchen wir zwei Aspekte in der Theorie unvollständiger Märkte. Das erste Thema ist die Erhaltung der Lévy-Eigenschaft eines stochastischen Prozesses unter dem entropieminimierenden Martingalmaß. Wir liefern eine detaillierte Analyse und sorgfältige Erklärung für dieses Phänomen. Der zweite Teil behandelt die Approximation eines zeitstetigen Modells und des Preisprozesses einer rekursiven Auszahlungsstruktur durch zeitdiskrete Modelle bzw. Preisprozesse. Die Minimierung relativer Entropie über äquivalente Martingalmaße ist das duale Problem zur Maximierung des erwarteten exponentiellen Nutzens aus dem Endvermögen über selbstfinanzierende Handelsstrategien. Wir studieren das Problem der Entropieminimierung und zeigen, dass ein Lévy-Prozess die Eigenschaft unabhängiger und stationärer Zuwächse unter dem Martingalmaß mit minimaler Entropie behält. Die Argumentation benutzt Semimartingalcharakteristiken und den Satz von Girsanov für Semimartingale. Wir stellen eine Umkehrung des Satzes von Girsanov vor, mit der wir in expliziter Weise aus einem gegebenen Martingalmaß mit endlicher relativer Entropie ein neues Martingalmaß konstruieren, das geringere Entropie besitzt und die Lévy-Eigenschaft erhält. Dazu benutzen wir eine Darstellung der relativen Entropie als ein konvexes Funktional zweier Parameter, die durch den Satz von Girsanov gegeben sind. Dieses Vorgehen macht klar, warum wir das entropieminimierende Martingalmaß als das Esscher-Martingalmaß identifizieren können. Zudem werden einige Anwendungen dieser Ergebnisse in der Finanzmathematik untersucht. Der zweite Teil beschäftigt sich mit der Approximation eines zeitstetigen Modells durch eine Folge von endlichen zeitdiskreten Modellen. Der treibende stochastische Prozess des zeitstetigen Modells im vorliegenden Fall ist eine mehrdimensionale Brownsche Bewegung; zudem beinhaltet es nicht handelbare Risikofaktoren, die von einem multivariaten Punktprozess getrieben werden. Mit Hilfe von Resultaten über die Konvergenz stochastischer Prozesse und stochastischer Differentialgleichungen konstruieren wir eine Folge zeitdiskreter Modelle, die gegen das zeitstetige Modell konvergiert. Danach untersuchen wir die Approximation des Preisprozesses einer rekursiven Auszahlungsstruktur, die neben den handelbaren Anlagen und den nicht handelbaren Risikofaktoren auch von ihrem eigenen Preisprozess abhängt. Zuerst entwickeln wir ein Rechenschema für den zeitdiskreten Preisprozess und erhalten so eine Darstellung, die dem Bewertungsansatz mit partiellen Differentialgleichungen im zeitstetigen Fall entspricht. Wir beweisen die Konvergenz der zeitdiskreten Preisprozesse, indem wir zunächst die Straffheit der Folge der Verteilungen zeigen und dann jeden Häufungspunkt der Folge mit der Verteilung des zeitstetigen Preisprozesses identifizieren. Um das zu erreichen, zeigen wir ein Konvergenzresultat für Verteilungen von Lösungen stochastischer Rückwärtsgleichungen.
In this thesis we study two aspects of incomplete models in mathematical finance. The first topic is the preservation of the Lévy property of a stochastic process under the minimal entropy martingale measure, for which we give a detailed analysis including a careful explanation of the phenomenon. The second part deals with the approximation of a continuous-time model and the price process of a recursive contingent claim in this model by discrete-time models and price processes, respectively. Minimization of relative entropy over equivalent martingale measures is the dual problem of maximizing expected exponential utility from terminal wealth over self-financing strategies. We study the relative entropy minimization problem and show that a Lévy process keeps its property of independent and stationary increments under the martingale measure which has minimal relative entropy. The proofs use semimartingale characteristics and Girsanov's theorem for semimartingales. We present a converse of Girsanov's theorem and use this to construct in an explicit way for a given martingale measure with finite relative entropy another martingale measure which reduces the relative entropy and preserves the Lévy property. This uses a representation of relative entropy as a convex functional of two parameters which originate from Girsanov's theorem. This approach enables us to explain why we can identify the entropy-minimizing martingale measure as the Esscher martingale measure. Several applications of these results in mathematical finance are given. The second part is concerned with the approximation of a continuous-time model by a sequence of finite and discrete-time models. The continuous-time model under consideration is driven by Brownian motions and incorporates non-tradable factors of risk driven by a multivariate point process. Using convergence results for stochastic processes and stochastic differential equations, we first construct a sequence of discrete-time models which converge to the continuous-time model. We then investigate the approximation of the price process for a recursive payoff structure which depends on its own price process. A computation scheme for the corresponding discrete-time price processes gives rise to a representation which corresponds to the pricing approach in continuous time by means of partial differential equations. The convergence of the discrete-time price processes is proved by first showing tightness of the sequence of distributions and then identifying every cluster point of the sequence with the distribution of the continuous-time price process. To establish this, we prove a convergence result for distributions of backward stochastic differential equations.
URI: urn:nbn:de:kobv:83-opus-7293
http://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/1125
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-828
Exam Date: 8-Jan-2004
Issue Date: 29-Jan-2004
Date Available: 29-Jan-2004
DDC Class: 510 Mathematik
Subject(s): Unvollständige Märkte
Lévy Prozesse
relative Entropie
stochastische Rückwärtsgleichungen
schwache Konvergenz
Incomplete markets
Lévy processes
relative entropy
backward stochastic differential equations
weak convergence
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