Please use this identifier to cite or link to this item: http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-829
Main Title: The Shannon-McMillan-Theorem and Related Results for Ergodic Quantum Spin Lattice Systems and Applications in Quantum Information Theory
Translated Title: Der Shannon-McMillan-Satz und verwandte Resultate für ergodische Quantenspingittersysteme und Anwendung in der Quanteninformationstheorie
Author(s): Szkola, Arleta
Advisor(s): Seiler, Ruedi
Granting Institution: Technische Universität Berlin, Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften
Type: Doctoral Thesis
Language: English
Language Code: en
Abstract: Wir zeigen, dass Quantenversionen des berühmten Shannon-McMillan Satzes und seiner auf Breiman zurückgehenden Verschärfung existieren. In der Ergodentheorie ist der SMB-Satz ein Grenzwertsatz für die dynamische Entropie. Diese ist im Fall klassischer Spingittersysteme gleich der Shannon-Entropierate. Wir betrachten Quantengittersysteme modelliert als C*-dynamische Systeme, wobei die Dynamik durch die Wirkung der Translationsgruppe auf einer quasilokalen C*-Algebra gegeben ist. Es stellt sich heraus, dass in diesem Kontext die von Neumann-Entropierate die Shannon-Entropierate verallgemeinert: Sie gibt die asymptotisch exponentielle Wachstumsrate der Dimension von Hilbertteilräumen an, die typisch sind bzgl. einem ergodischen Quantenzustand auf einer quasilokalen Algebra. Basierend auf dem Quanten-SM-Satz beweisen wir ein Quanten-Datenkompressionstheorem: Die von Neumann-Entropierate ergodischer Quanteninformationsquellen, modelliert durch 1-dimensionale Quantengittersysteme, ist die erreichbare untere Schranke an die Kompressionsrate asymptotisch zuverlässiger Block-Datenkompressionsschemen für diese Quelle.
We show that there exist quantum extensions of the famous Shannon-McMillan theorem and its stronger version due to Breiman. In ergodic theory the SMB-theorem is a limit theorem for the dynamical entropy. This is equal to the Shannon entropy rate in the case of classical spin lattice systems. We consider quantum lattice systems modeled as C*-dynamical systems, where the dynamics is given by the action of the translation group on a quasi-local C*-algebra. It turns out that in this setting the von Neumann entropy rate generalizes the Shannnon entropy rate: It gives the asymptotically exponential growth rate of the dimension of Hilbert subspaces typical with respect to an ergodic quantum state on a quasi-local algebra. Based on the quantum SM-theorem we prove a quantum data compression theorem: The von Neumann entropy rate of an ergodic quantum information source -modeled by a 1-dimensional quantum lattice system- is the achievable lower bound on the compression rate of asymptotically reliably operating block data compression schemes for this source.
URI: urn:nbn:de:kobv:83-opus-7304
http://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/1126
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-829
Exam Date: 12-Feb-2004
Issue Date: 5-Mar-2004
Date Available: 5-Mar-2004
DDC Class: 510 Mathematik
Subject(s): Ergodische Quantensping
Quanten-Datenkompressionstheorem
Quanten-Shannon-McMillan-Breiman-Satz
Quanteninformationsquellen
Von Neumann-Entropierate
Ergodic Quantum Spi
Quantum Data Compression Theorem
Quantum Information Sources
Quantum Shannon-McMillan-Breiman Theorem
Von Neumann entropy rate
Usage rights: Terms of German Copyright Law
Appears in Collections:Technische Universität Berlin » Fakultäten & Zentralinstitute » Fakultät 2 Mathematik und Naturwissenschaften » Publications

Files in This Item:
File Description SizeFormat 
Dokument_36.pdf500.91 kBAdobe PDFThumbnail
View/Open


Items in DepositOnce are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.