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http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-829
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Main Title: | The Shannon-McMillan-Theorem and Related Results for Ergodic Quantum Spin Lattice Systems and Applications in Quantum Information Theory |
Translated Title: | Der Shannon-McMillan-Satz und verwandte Resultate für ergodische Quantenspingittersysteme und Anwendung in der Quanteninformationstheorie |
Author(s): | Szkola, Arleta |
Advisor(s): | Seiler, Ruedi |
Granting Institution: | Technische Universität Berlin, Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften |
Type: | Doctoral Thesis |
URI: | urn:nbn:de:kobv:83-opus-7304 http://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/1126 http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-829 |
License: | http://rightsstatements.org/vocab/InC/1.0/ |
Abstract: | Wir zeigen, dass Quantenversionen des berühmten Shannon-McMillan Satzes und seiner auf Breiman zurückgehenden Verschärfung existieren. In der Ergodentheorie ist der SMB-Satz ein Grenzwertsatz für die dynamische Entropie. Diese ist im Fall klassischer Spingittersysteme gleich der Shannon-Entropierate. Wir betrachten Quantengittersysteme modelliert als C*-dynamische Systeme, wobei die Dynamik durch die Wirkung der Translationsgruppe auf einer quasilokalen C*-Algebra gegeben ist. Es stellt sich heraus, dass in diesem Kontext die von Neumann-Entropierate die Shannon-Entropierate verallgemeinert: Sie gibt die asymptotisch exponentielle Wachstumsrate der Dimension von Hilbertteilräumen an, die typisch sind bzgl. einem ergodischen Quantenzustand auf einer quasilokalen Algebra. Basierend auf dem Quanten-SM-Satz beweisen wir ein Quanten-Datenkompressionstheorem: Die von Neumann-Entropierate ergodischer Quanteninformationsquellen, modelliert durch 1-dimensionale Quantengittersysteme, ist die erreichbare untere Schranke an die Kompressionsrate asymptotisch zuverlässiger Block-Datenkompressionsschemen für diese Quelle. We show that there exist quantum extensions of the famous Shannon-McMillan theorem and its stronger version due to Breiman. In ergodic theory the SMB-theorem is a limit theorem for the dynamical entropy. This is equal to the Shannon entropy rate in the case of classical spin lattice systems. We consider quantum lattice systems modeled as C*-dynamical systems, where the dynamics is given by the action of the translation group on a quasi-local C*-algebra. It turns out that in this setting the von Neumann entropy rate generalizes the Shannnon entropy rate: It gives the asymptotically exponential growth rate of the dimension of Hilbert subspaces typical with respect to an ergodic quantum state on a quasi-local algebra. Based on the quantum SM-theorem we prove a quantum data compression theorem: The von Neumann entropy rate of an ergodic quantum information source -modeled by a 1-dimensional quantum lattice system- is the achievable lower bound on the compression rate of asymptotically reliably operating block data compression schemes for this source. |
Subject(s): | Ergodische Quantensping Quanten-Datenkompressionstheorem Quanten-Shannon-McMillan-Breiman-Satz Quanteninformationsquellen Von Neumann-Entropierate Ergodic Quantum Spi Quantum Data Compression Theorem Quantum Information Sources Quantum Shannon-McMillan-Breiman Theorem Von Neumann entropy rate |
Issue Date: | 5-Mar-2004 |
Date Available: | 5-Mar-2004 |
Exam Date: | 12-Feb-2004 |
Language: | English |
Language Code: | en |
DDC Class: | 510 Mathematik |
TU Affiliation(s): | Fak. 2 Mathematik und Naturwissenschaften |
Appears in Collections: | Technische Universität Berlin » Publications |
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