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Main Title: Isothermic constrained Willmore tori
Translated Title: Isotherme Willmore Tori mit konformer Nebenbedingung
Author(s): Tervooren, Jonas
Advisor(s): Pinkall, Ulrich
Referee(s): Pinkall, Ulrich
Pedit, Franz
Granting Institution: Technische Universität Berlin
Type: Doctoral Thesis
Language Code: en
Abstract: This dissertation treats the classification of isothermic constrained Willmore tori. Jörg Richter proved in his dissertation that for every immersion f : M → R³ of an isothermic constrained Willmore torus, there exists a conformal change of the euclidean metric of R³ such that the surface has constant mean curvature (CMC) in a space form. We extended his proof such a way that it remains true if the surface has umbilical points. The umbilical points of isothermic constrained Willmore tori are either isolated (Bryant surfaces with smooth ends) or lie in a plane (Babich-Bobenko tori). In both cases the surface has constant mean curvature with respect to a hyperbolic metric. Using sphere congruences, Ben Andrews and Haizhong Li proved that every embedded CMC torus f : M → S³ has a rotational symmetry. We reproduced their construction of a maximal interior sphere congruence for closed surfaces in a Möbius-geometric setup. This enables us to extend their proof for CMC tori in S³ to arbitrary spaceforms. By this means, we can prove that Babich-Bobenko tori cannot be embedded. Further, we obtain that after a stereographic projection, every embedded isothermic constrained Willmore torus f : M → R 3 that is not a Bryant surface has constant mean curvature in the unit 3-sphere in R 4 and is hence a canal surface. We also apply this method to periodic CMC cylinders in R 3 , which leads to a new proof of the well-known fact that Delaunay cylinders are the only properly embedded, periodic, CMC cylinders in R 3 . It is well-known that isothermic canal surfaces in S 3 are Möbius equivalent to a surface of revolution. We give a new Möbius-geometric proof for this fact and obtain the following classification: After a stereographic projection, every embedded isothermic constraint Willmore torus f : M → R 3 is either an isothermic Bryant surface with smooth ends or Möbius equivalent to a surface of revolution in S 3 .
Diese Dissertation beschäftigt sich mit der Klassifikation von isothermen constrained Willmore Tori. Jörg Richter hat in seiner Dissertation gezeigt, dass für jeden in R3 immersierten, isothermen, constrained Willmore Torus durch eine konforme Änderung der euklidischen Metrik eine Raumform konstruiert werden kann, in der die Immersion konstante mittlere Krümmung (CMC) hat. Wir modifizieren seinen Beweis, sodass er seine Gültigkeit auch dann behält, wenn die Fläche Nabelpunkte besitzt. Die Nabelpunkte isothermer constrained Willmore Tori sind entweder isoliert (Bryant Flächen mit glatten Enden) oder liegen in einer Ebene (Babich-Bobenko Tori). In beiden Fällen haben die Flächen konstante mittlere Krümmung bezüglich einer hyperbolischen Metrik. Ben Andrews and Haizhong Li haben unter der Verwendung von Sphären-Kongruenzen bewiesen, dass jeder in S3 eingebettete CMC Torus rotationssymmetrisch ist [2]. Wir haben ihre Konstruktion der maximalen Sphären-Kongruenz für geschlossene Flächen in einem Möbius geometrischen Setup reproduziert. Auf diese Weise können wir ihren Beweis für Tori in S3 auf beliebige Raumformen erweitern. Im Besonderen zeigen wir, dass Babich-Bobenko Tori nicht eingebettet werden können. Dem entsprechend ist jeder eingebettete, isotherme, constrained Willmore Torus f : M → R3 entweder eine Bryant Fläche, oder hat nach einer stereographischen Projektion konstante mittlere Krümmung in S3. Im zweiten Fall ist der Torus eine Kanalfläche. Die Methode lässt sich auch auf periodische Zylinder in R3 anwenden. Dies führt zu einem neuen Beweis für die bekannte Tatsache [21], dass Delaunay Zylinder die einzigen eigentlich eingebetteten, periodischen, CMC Zylinder in R3 sind. Es ist bekannt, dass isotherme Kanalflächen in S3 Möbius äquivalent zu Rotationsflächen sind. Wir geben einen neuen Möbius geometrischen Beweis für diese Tatsache und erhalten damit folgende Klassifizierung: Jeder eingebettete, isotherme, constrained Willmore Torus f : M → R3 ist entweder eine isotherme Bryant Fläche mit glatten Enden oder nach einer stereographischen Projektion Möbius äquivalent zu einer Drehfläche in S3.
URI: https://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/11301
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-10186
Exam Date: 30-Sep-2019
Issue Date: 2020
Date Available: 30-Jul-2020
DDC Class: 516 Geometrie
Subject(s): constraint Willmore tori
CMC surfaces
Babich-Bobenko tori
isothermic canal surfaces
conformal geometry
Flächen konstanter Mittlererkrümmung
Babich-Bobenko Tori
isotherme Kanalflächen
konforme Geometrie
License: http://rightsstatements.org/vocab/InC/1.0/
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