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Main Title: Multilevel optimization problems with linear differential-algebraic equations
Translated Title: Mehrstufige Optimierungsverfahren mit Linearen Differentiell-Algebraischen Gleichungen
Author(s): Bankmann, Daniel Steffen
Advisor(s): Mehrmann, Volker
Referee(s): Mehrmann, Volker
Worthmann, Karl
Van Dooren, Paul
Granting Institution: Technische Universität Berlin
Type: Doctoral Thesis
Is Supplemented By: 10.5281/zenodo.3971868
10.5281/zenodo.3997097
Language Code: en
Abstract: This thesis is about various multilevel optimization problems in the context of general parameter-dependent linear differential-algebraic equations. In the first part we analyze problems where the lowest level consists of an optimal control problem for linear differential-algebraic equations. The optimal control problem depends on higher level variables that take the role of a parameter. A solution of the optimal control problem is fed into the next level optimization problem. We compute the solution of the optimal control with the help of the necessary optimality conditions which constitute a differential-algebraic boundary value problem. An essential ingredient for solving the higher level optimization problems is sensitivity information of the optimal control problem. We analyze different possibilities for the computation of the sensitivities and briefly discuss implications for higher index systems. We also present possible numerical methods for the computation of the sensitivities. We apply the results to a multilevel optimal control problem with a nonlinear least-squares upper level and provide a convergence result and numerical examples. We also derive formulas for the analytic center of the solution set of linear matrix inequalities defining passive transfer functions. Numerical methods are developed for the computation of the analytic center. It is also shown that the analytic center has nice robustness properties when it is used to represent passive systems. The results are illustrated by numerical examples. Also, we analyze certain robustness measures appearing in the robust stabilization of linear time-invariant systems with respect to a certain condition number appearing in the computation of deflating subspaces of a matrix pencil associated with the linear quadratic optimal control problem. We show, that this condition number can be incorporated into the computation of the robustness measures and illustrate possible consequences with an example.
Diese Arbeit befasst sich mit verschiedenen mehrstufigen Optimierungsproblemen im Kontext allgemeiner parameterabhängiger linearer differentiell-algebraischer Gleichungen (DAEs). Im ersten Teil analysieren wir Probleme, bei denen die unterste Stufe aus einem Optimalsteuerungsproblem für lineare DAEs besteht. Das Optimalsteuerungsproblem hängt von Variablen höherer Stufen ab, die die Rolle eines Parameters übernehmen. Die Lösung des Optimalsteuerungsproblems wird anschließend in das Optimierungsproblem der nächsten Stufe eingesetzt. Wir berechnen die Lösung des Optimalsteuerungsproblems mit Hilfe der notwendigen Optimalitätsbedingungen, die ein differentiell-algebraisches Randwertproblem darstellen. Ein wesentlicher Bestandteil zur Lösung der übergeordneten Optimierungsprobleme sind Sensitivitäten des Optimalsteuerungsproblems. Wir analysieren verschiedene Möglichkeiten zur Berechnung der Sensitivitäten und diskutieren kurz die Folgen für DAEs mit höherem Index. Außerdem stellen wir mögliche numerische Methoden für die Berechnung der Sensitivitäten vor. Wir wenden die Ergebnisse auf ein mehrstufiges Optimalsteuerungsproblem mit einer oberen Stufe bestehend aus einem nichtlinearen quadratischen Ausgleichsproblem an, und stellen ein Konvergenzergebnis und numerische Beispiele zur Verfügung. Weiterhin leiten wir Formeln für das analytische Zentrum der Lösungsmenge von linearen Matrixungleichungen (LMIs), die passive Übertragungsfunktionen definieren, her. Für die Berechnung des analytischen Zentrums werden numerische Methoden entwickelt. Es wird auch gezeigt, dass das analytische Zentrum hilfreiche Robustheitseigenschaften hat, wenn es zur Darstellung passiver Systeme verwendet wird. Die Ergebnisse werden durch numerische Beispiele veranschaulicht. Darüber hinaus analysieren wir bestimmte Robustheitsmaße, die bei der robusten Stabilisierung linearer zeitinvarianter Systeme in Bezug auf eine bestimmte Konditionszahl auftreten, die bei der Berechnung von invarianten Unterräumen eines Matrizenbüschels bei linear-quadratischen Optimalsteuerungsproblemen auftreten. Wir zeigen, dass diese Konditionszahl bei der Berechnung der Robustheitsmaße einfließen kann und veranschaulichen mögliche Konsequenzen anhand eines Beispiel.
URI: https://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/12220
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-11095
Exam Date: 16-Dec-2020
Issue Date: 2021
Date Available: 12-Jan-2021
DDC Class: 510 Mathematik
Subject(s): multilevel optimal control problems
analytic center
condition number optimization
sensitivity computation
Gauss-Newton method
mehrstufige Optimalsteuerungsproleme
analytisches Zentrum
Konditionszahloptimierung
Sensitivitätsberechnung
Gauß-Newton-Methode
Sponsor/Funder: DFG, 361092219, Distributed dynamic security control in next-generation electrical power systems
License: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
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