Please use this identifier to cite or link to this item: http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-942
Main Title: Soliton Spheres
Author(s): Peters, Günter Paul
Advisor(s): Pinkall, Ulrich
Granting Institution: Technische Universität Berlin, Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften
Type: Doctoral Thesis
Language: English
Language Code: en
Abstract: In der vorliegenden Arbeit werden lineare Systeme holomorpher Schnitte quaternionisch holomorpher Linienbündel über kompakten Riemannschen Flächen, für die Gleichheit in der Plückerungleichung gilt, untersucht. Es wird gezeigt, dass zu jedem $(n+1)$--dimensionalen linearen System mit Gleichheit in der quaternionischen Plückerungleichung eine komplex holomorphe Kurve in $CP^{2n+1}$ gehört, und dass das lineare System aus der komplex holomorphen Kurve in $CP^{2n+1}$ durch Differentiation und algebraische Umformungen konstruiert werden kann. <p>Das Hauptinteresse der Arbeit gilt den Solitonensphären. Das sind Flächen, die durch verzweigte konforme Immersionen von $CP^1$ in die Quaternionen beschrieben werden, die sich als Quotient von zwei holomorphen Schnitten eines linearen Systems mit Gleichheit in der Plückerungleichung schreiben lassen. <p>Es wird gezeigt, dass die Taimanovschen Solitonensphären die in der Arbeit gegebene unter Möbiustransformationen invariante Definition von Solitonensphären erfüllen. Es wird bewiesen, dass das Willmorefunktional von immersierten Solitonensphären im $R^3$ von der Form $4pi n$ mit $nin{1,4,6,7,8,9,10,11,ldots}$ ist. Es wird gezeigt, dass alle Willmoresphären Solitonensphären sind. Es wird eine algebraische Konstruktion (Twistorprojektion und Bäcklundtransformation) beschrieben, mit der sich alle Willmoresphären im $R^4$ aus jeweils vier Polynomen konstruieren lassen. Darüber hinaus wird die Bedingung beschrieben, die die Polynome erfüllen müssen, damit die konstruierten Willmoresphären im $R^3$ liegen. <p>Schließlich wird gezeigt das eine abzählbare Teilfamilie der zum Katenoid im 3--dimensionalen hyperbolischen Raum gehörenden Flächen konstanter mittlerer Krümmung $-1$ (CMC-1) glatte Enden hat, und dass diese Flächen Taimanovsche Solitonensphären sind. Die Interpretation von Robert Bryants Konstruktion von CMC-1 Flächen als Darbouxtransformation der runden Sphäre erweist sich dabei als sehr nützlich.
Linear systems of quaternionic holomorphic line bundles over compact Riemann surfaces with equality in the quaternionic Plücker estimate are studied in this thesis. It is shown that to every $(n+1)$--dimensional linear system with equality corresponds a complex holomorphic curve in $CP^{2n+1}$, and, conversely, the linear system can be reconstructed from the complex holomorphic curve in $CP^{2n+1}$ via differentiation and algebraic transformations. <p>This thesis focuses on soliton spheres, i.e., branched conformal immersion of $CP^1$ into the field of quaternions that are quotients of holomorphic sections of a linear system with equality in the quaternionic Plücker estimate. <p>It is shown that the Taimanov soliton spheres are soliton spheres in the sense of this thesis. It is shown that the Willmore energy of immersed soliton spheres in $R^3$ is of the form $4pi n$ for some $nin{1,4,6,7,8,9,10,11,ldots}$. An algebraic construction (twistor projection and Bäcklund transformation) for all Willmore spheres in $R^4$ from four polynomials is described, and the condition on the polynomials that correspond to Willmore spheres in $R^3$ is given. <p>Finally, it is shown that a countable subset of the CMC-1 catenoid cousins has smooth ends, and that these surfaces are Taimanov soliton spheres. For this the description of Robert Bryants construction of CMC-1 surfaces as Darboux transformation of the round sphere is important.
URI: urn:nbn:de:kobv:83-opus-8422
http://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/1239
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-942
Exam Date: 28-May-2004
Issue Date: 26-Jul-2004
Date Available: 26-Jul-2004
DDC Class: 510 Mathematik
Subject(s): Bäcklundtransform
CMC-1 mit glatten Enden
Quaternionische Flächen Theorie
Quaternionische Plückerungleichung
Solitonensphären
Willmoreenergie
Bäcklund transformation
CMC-1 with smooth ends
Darbou
Quaternionic Plücker formula
Quaternionic surface theory
Soliton spheres
Willmore energy
Usage rights: Terms of German Copyright Law
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