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Main Title: Triangulations, discriminants, and Teichmüller theory
Translated Title: Triangulierungen, Diskriminanten, und Teichmüller Theorie
Author(s): Löwe, Robert
Advisor(s): Joswig, Michael
Springborn, Boris
Referee(s): Joswig, Michael
Springborn, Boris
Santos Leal, Francisco
Granting Institution: Technische Universität Berlin
Type: Doctoral Thesis
Language Code: en
Abstract: A famous construction of Gel’fand, Kapranov and Zelevinsky associates to each finite point configuration A its secondary fan. This polyhedral fan stratifies the space of height functions by means of the induced regular subdivisions of A. A key result says that the secondary fan arises as the normal fan of a convex polytope, the secondary polytope of A. We apply the theory of regular triangulations and secondary polytopes to study the discriminant of a quaternary cubic form. More explicitly, we determine the 166104 extremal monomials of this discriminant by computing the so-called D-equivalence classes of regular triangulations of the 3-dilated standard tetrahedron. This involves a massive computation of all regular triangulations that poses several challenges, such as dealing with the sheer number of triangulations effectively, as well as devising a suitably fast algorithm for the computation of D-equivalence classes. In a completely analogous way to the secondary fans of point configurations, we associate a secondary fan to each hyperbolic Riemann surface with punctures. Its cones correspond to horocyclic Delaunay decompositions which arise via the convex hull construction of Epstein and Penner. The secondary fans are fibers of Penner’s cell decomposition of the decorated Teichmüller space. Similar to the classical setting, we provide a construction of a secondary polyhedron whose normal fan is the secondary fan. The Epstein–Penner convex hull construction was generalized by Cooper and Long to decorated strictly convex projective structures. Penner used the former result to describe a natural cell decomposition of the decorated Teichmüller space of a punctured surface. We extend this cell decomposition to the moduli space of decorated strictly convex projective structures of finite volume on punctured surfaces. The proof uses Fock and Goncharov’s A -coordinates for doubly decorated structures.
Eine berühmte Konstruktion von Gel’fand, Kapranov and Zelevinsky assoziiert zu jeder endlichen Punktkonfiguration A ihren Sekundärfächer. Dieser polyedrische Fächer stratifiziert den Raum der Höhenfunktionen bezüglich der induzierten regulären Unterteilungen von A. Ein zentrales Resultat besagt, dass der Sekundärfächer der Normalenfächer eines konvexen Polytops ist, des sogenannten Sekundärpolytops von A. Wir verwenden die Theorie der regulären Triangulierungen und Sekundärpolytope, um die Diskriminante einer quaternären kubischen Form zu untersuchen. Genauer gesagt bestimmen wir die 166104 extremen Monome dieser Diskriminante, indem wir alle sogenannten D-Äquivalenzklassen von regulären Triangulierungen des um den Faktor 3 gestreckten Standardtetraeders berechnen. Dies involviert eine massive Berechnung aller regulären Triangulierungen, die einige Herausforderungen mit sich bringt. Dazu gehört der effiziente Umgang mit der großen Anzahl von Triangulierungen sowie die Entwicklung eines entsprechend schnellen Algorithmus’ für die Berechnung einer D-Äquivalenzklasse. In Analogie zu den Sekundärfächern von Punktkonfigurationen assoziieren wir mit jeder hyperbolischen Riemannschen Fläche einen Sekundärfächer. Seine Kegel korrespondieren zu den horozyklischen Delaunay-Zerlegungen, welche durch die Epstein–Penner Konstruktion entstehen. Die Sekundärfächer sind Fasern von Penners Zellzerlegung des dekorierten Teichmüller-Raums. Ähnlich zur klassischen Theorie beschreiben wir die Konstruktion eines Sekundärpolyeders, dessen Normalenfächer der Sekundärfächer ist. Die Epstein–Penner Konstruktion wurde von Cooper und Long auf dekorierte, streng konvexe, projektive Strukturen verallgemeinert. Penner verwendete erstere Konstruktion, um eine natürliche Zellzerlegung des dekorierten Teichmüller-Raums einer punktierten Fläche zu beschreiben. Wir erweitern diese Zellzerlegung auf den Modulraum dekorierter, streng konvexer, projektiver Strukturen auf punktierten Flächen. Der Beweis verwendet Fock und Goncharov’s A -Koordinaten für doppelt-dekorierte Strukturen.
Exam Date: 3-Jul-2020
Issue Date: 2021
Date Available: 1-Apr-2021
DDC Class: 516 Geometrie
Subject(s): triangulation
hyperbolic eometry
secondary polytope
hyperbolische Geometrie
Sponsor/Funder: DFG, SFB/TR 109, Discretization in Geometry and Dynamics
Appears in Collections:FG Diskrete Mathematik / Geometrie » Publications

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