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Main Title: Some aspects of integrability of birational maps
Translated Title: Einige Aspekte zur Integrabilität birationaler Abbildungen
Author(s): Zander, René
Advisor(s): Suris, Yuri B.
Referee(s): Suris, Yuri B.
Carstea, Adrian Stefan
Granting Institution: Technische Universität Berlin
Type: Doctoral Thesis
URI: https://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/12725
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-11525
License: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
Abstract: In dieser Arbeit behandeln wir verschiedene Aspekte zur Integrabilität von birationalen Abbildungen, vorrangig im Kontext von Abbildungen, welche als Kahan-Diskretisierung von Systemen von quadratischen gewöhnlichen Differentialgleichungen gegeben sind. Integrabilität von birationalen Abbildungen kann durch das Vorhandensein von geometrischen Eigenschaften, wie zum Beispiel eine ausreichende Anzahl von Erhaltungsgrößen, eine invariante Poisson-Struktur, ein invariantes Maß, etc., sowie durch algebraische Eigenschaften, wie zum Beispiel verschwindende algebraische Entropie und begrenzte Singularitäten, charakterisiert werden. Diese Arbeit besteht aus zwei Teilen. Im ersten Teil betrachten wir algebraische und geometrische Aspekte von birationalen Abbildungen vom Grad zwei der komplexen projektiven Ebene. Wir behandeln den Zusammenhang zwischen der Singularitätsstruktur einer generischen quadratischen Cremona-Abbildung und der Folge von Graden der Iterierten. Basierend auf allgemeinen Resultaten von Bedford & Kim identifizieren wir die Singularitätsstrukturen, welche zu polynomiellem Wachstum der Grade führen. Anschließend betrachten wir die Singularitätsstruktur von Kahan-Diskretisierungen von einer Klasse von quadratischen Vektorfeldern und vom Lotka-Volterra-System. Auf diese Weise finden wir eine Klassifizierung der Parameterwerte, für welche die zugehörige Kahan-Abbildung integrabel ist. Weiterhin beschreiben wir die geometrische Konstruktion von birationalen Involutionen auf Büscheln von elliptischen Kurven vom Grad vier und sechs. Dies stellt eine Verallgemeinerung der sogenannten Manin-Involutionen auf Büscheln kubischer Kurven dar. Hierfür beschreiben wir eine geometrische (vollständig algorithmische) Herangehensweise um solche Büschel von höherem Grad auf Büschel kubischer Kurven zurückzuführen. Schließlich behandeln wir spezielle Büschel von Kurven vom Grad drei, vier und sechs, welche quadratische Manin-Abbildungen aufweisen. Zuletzt zeigen wir wie man in einigen Fällen nicht-integrable Kahan-Abbildungen reparieren kann, indem man Koeffizienten im Kahan-Schema anpasst. Im zweiten Teil betrachten wir modifizierte Invarianten, d.h. formale Erhaltungsgrößen, die eine Perturbation einer Erhaltungsgröße des kontinuierlichen Systems sind, für Kahan-Diskretisierungen. In diesen Zusammenhang geben wir einen kombinatorischen Beweis der Celledoni-McLachlan-Owren-Quispel-Formel für eine Erhaltungsgröße für Kahan-Diskretisierungen von kanonischen Hamlitonischen Systemen mit kubischer Hamiltonfunktion. Darüber hinaus zeigen wir beispielhaft, dass man eine Erhaltungsgröße für eine Kahan-Diskretisierung aus einer divergenten formalen Invarianten durch Padé-Approximation erhalten kann.
In this thesis, we discuss various aspects of integrability of birational maps, mainly in the context of maps obtained as Kahan discretizations of systems of quadratic ordinary differential equations. Integrability of birational maps can be characterized by the presence of geometric features such as a sufficient number of independent integrals of motion, an invariant Poisson structure, an invariant measure form, etc., and algebraic features such as vanishing algebraic entropy and confined singularities. This thesis consists of two parts. In the first part, we focus on algebraic and geometric aspects of birational maps of degree two of the complex projective plane. We discuss the relation between the singularity structure of a generic quadratic Cremona transformation and the sequence of degrees of its iterates. In particular, based on general results by Bedford & Kim, we identify the singularity structures that result in polynomial growth of degrees. Thereafter, we discuss the singularity structure of Kahan discretizations of a class of quadratic vector fields and of the Lotka-Volterra system, and provide a classification of the parameter values such that the corresponding Kahan map is integrable. Further, we elaborate on the geometric construction of birational involutions on elliptic pencils of degree four and six that are a generalization of the so-called Manin involutions on cubic pencils. For this, we present a geometric (completely algorithmic) approach to reduce such higher degree pencils to cubic ones by (a composition of) quadratic birational changes of coordinates of the complex projective plane. Finally, we discuss special cubic, quartic and sextic pencils that feature quadratic Manin maps. Lastly, we demonstrate how one can repair non-integrable Kahan discretizations in some cases by adjusting coefficients of the Kahan scheme. In the second part, we consider modified invariants, that is, formal integrals of motion that are a perturbation of an integral of motion of the continuous system, for Kahan discretizations. In this context, we present a combinatorial proof of the Celledoni-McLachlan-Owren-Quispel formula for an integral of motion of Kahan discretizations of canonical Hamiltonian systems with a cubic Hamiltonian. Further, we exemplify that one can recover an integral of motion of a Kahan discretization from a divergent modified invariant using Padé approximation.
Subject(s): integrable systems
birational maps
Kahan discretization
Manin involutions
integrable Systeme
birationale Abbildungen
Kahan-Diskretisierung
Manin-Involutionen
Issue Date: 2021
Date Available: 23-Mar-2021
Exam Date: 4-Dec-2020
Language Code: en
DDC Class: 510 Mathematik
Sponsor/Funder: DFG, 195170736, Discretization in geometry and dynamics
TU Affiliation(s): Fak. 2 Mathematik und Naturwissenschaften » Inst. Mathematik » FG Geometrie und Integrable Systeme
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