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Main Title: Stochastic analysis of ensemble-based Kalman-type filtering algorithms in discrete and continuous time
Translated Title: Stochastische Analyse ensemble-basierter Kalman-artiger Filteralgorithmen in diskreter und stetiger Zeit
Author(s): Lange, Theresa
Advisor(s): Stannat, Wilhelm
Referee(s): Schillings, Claudia
Stannat, Wilhelm
Granting Institution: Technische Universität Berlin
Type: Doctoral Thesis
URI: https://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/13059
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-11855
License: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
Abstract: Consider the stochastic filtering problem of identifying the conditional distribution of an unknown stochastic system given noisy observations. Ensemble-based Kalman-type filtering algorithms (such as the Ensemble Kalman Filter, EnKF, or the class of Ensemble Square Root Filters, ESRF) propagate an ensemble of particles in such a way that their empirical mean and empirical covariance matrix approximate the mean and covariance matrix of the conditional distribution. Though merely proposing a second-order fit, these algorithms enjoy great popularity especially in many applications of the geosciences for their robust and accurate behavior. This work aims to analyze them from a mathematical perspective to enhance the theoretical understanding of their qualitative and quantitative properties. The focus will be on two interesting concepts arising in this context: Chapter 4 is concerned with continuous time limits and the existence of such for the above algorithms. In the literature one can find continuous-time ensemble-based Kalman-type filtering algorithms which allow for promising properties such as stability and accuracy. In the continuous-time setting, we apply both the EnKF and the ESRF to a time-discretization of the underlying system and observation process and show that in the limit of decreasing discretization step size the filter equations converge to ensembles of interacting (stochastic) differential equations in the ensemble-mean-squared sense, together with concrete convergence rates in terms of the step size. These limiting ensembles coincide with the above continuous-time filtering algorithms hence we rigorously verify consistency of those with their discrete-time analogs. Moreover in the case of the ESRF, an exciting implication of our results is that this class of algorithms allows for a universal continuous time limit. Employing the rich theory of (stochastic) dynamical systems in continuous time, these limits therefore provide an alternative and potentially better analysis of their discrete-time counterparts. In chapter 5 we investigate the asymptotic behavior of ensemble-based Kalman-type filtering algorithms now in the limit of increasing ensemble size, i.e. a mean field limit. Since the EnKF has already been well-studied in this respect, we focus on the ESRF and both in the discrete- and continuous-time case identify limiting mean field processes together with propagation of chaos results as well as convergence rates in terms of the ensemble size. In the particular case of an underlying linear setting, these mean field limits are consistent in the sense that their distribution coincides with the conditional distribution of the filtering problem.
Betrachte das stochastische Filterproblem, die bedingte Verteilung eines unbekannten stochastischen Systems auf Grundlage verrauschter Beobachtungen zu identifizieren. Ensemble-basierte Kalman-artige Filteralgorithmen (wie das Ensemble Kalman Filter, EnKF, oder die Klasse der Ensemble Square Root Filter, ESRF) propagieren ein Ensemble von Partikeln so, dass deren empirisches Mittel sowie die empirische Kovarianzmatrix geeignete Approximationen sowohl des Mittelwerts als auch der Kovarianzmatrix der bedingten Verteilung ergeben. Obwohl sie die Verteilung somit nur bis zur zweiten Ordnung approximieren, erfreuen sich diese Algorithmen großer Popularität speziell in vielen Anwendungsbereichen der Geowissenschaften aufgrund ihrer Robustheit und Genauigkeit. Diese Arbeit hat zum Ziel, die obigen Algorithmen aus mathematischer Sicht zu analysieren und somit das derzeitige theoretische Wissen über deren qualitative und quantitative Eigenschaften zu erweitern. Wir fokussieren uns dabei auf zwei interessante Konzepte in diesem Kontext: Kapitel 4 betrachtet Kontinuumsgrenzwerte und deren Existenz für die obigen Algorithmen. In der Literatur finden sich zeitstetige ensemble-basierte Kalman-artige Filteralgorithmen, für welche bereits vielversprechende Eigenschaften wie Stabilität und Genauigkeit nachgewiesen wurden. Im zeitstetigen Fall wenden wir sowohl das EnKF als auch die ESRF auf Zeitdiskretisierungen des zugrundeliegenden Systems sowie der Beobachtungen an und zeigen, dass die Filtergleichungen für abnehmende Diskretisierungsschrittweite gegen ein Ensemble (stochastischer) Differentialgleichungen im L^2-Ensemblemittel konvergiert, einhergehend mit konkreten Konvergenzraten in Größen der Schrittweite. Die Grenz-Ensembles stimmen mit den obigen zeitstetigen Filtern überein, somit zeigen wir rigoros Konsistenz mit ihren zeitdiskreten Analoga. Eine weitere bemerkenswerte Konsequenz unserer Resultate im Falle der ESRF ist, dass diese Klasse einen universellen Kontinuumsgrenzwert besitzt. Mit Hilfe der umfassenden Theorie (stochastischer) dynamischer System in stetiger Zeit ermöglichen diese Grenzwerte somit eine alternative und vermutlich bessere Analysis ihrer zeitdiskreten Gegenstücke. In Kapitel 5 untersuchen wir das asymptotische Verhalten ensemble-basierter Kalman-artiger Filteralgorithmen diesmal für wachsende Ensemblegröße, d.h. einen Mean Field Grenzwert. Da das EnKF diesbezüglich bereits weitreichend analysiert wurde, fokussieren wir uns hier auf die ESRF in zeitdiskreter sowie -stetiger Zeit und identifizieren Mean-Field-Grenzprozesse zusammen mit entsprechenden Propagation of Chaos Resultaten sowie Konvergenzraten in Größen der Ensemblegröße. Im linearen Setting stellt es sich zudem heraus, dass diese Mean-Field-Grenzprozesse konsistent sind in dem Sinne, dass ihre Verteilungen mit der bedingten Verteilung des Filterproblems übereinstimmen.
Subject(s): ensemble Kalman filter
ensemble square root filters
ensemble Kalman-Bucy filter
ensemble transform Kalman-Bucy filter
continuous time limit
mean field limit
propagation of chaos
Kushner-Stratonovich equation
stochastic filtering theory
Kontinuumsgrenzwert
Mean Field Grenzwert
Kushner-Stratonovich Gleichung
Stochastische Filtertheorie
Issue Date: 2021
Date Available: 16-Jun-2021
Exam Date: 16-Apr-2021
Language Code: en
DDC Class: 519 Wahrscheinlichkeiten, angewandte Mathematik
Sponsor/Funder: DFG, 318763901, Statistik von stochastischen partiellen Differentialgleichungen (SPDEs)
TU Affiliation(s): Fak. 2 Mathematik und Naturwissenschaften » Inst. Mathematik » FG Stochastische Analysis
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