Please use this identifier to cite or link to this item: http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-1059
Main Title: Computation of Maximal Orders of Cyclic Extensions of Function Fields
Translated Title: Berechnung von Maximalordnungen von zyklischen Erweiterungen von Funktionenkörpern
Author(s): Fraatz, Robert
Advisor(s): Pohst, M. E.
Granting Institution: Technische Universität Berlin, Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften
Type: Doctoral Thesis
Language: English
Language Code: en
Abstract: Sei F ein Körper und L eine beliebige (endliche oder unendliche) Galoiserweiterung von F mit Galoisgruppe G. Wir präsentieren eine ausführliche Darstellung der allgemeinen Kummertheorie. Diese liefert eine abstrakte Charakterisierung aller abelschen Erweiterungen E von F mit E Teilmenge L: Sei A eine Teilmenge von L^m, die mit einer Gruppenstruktur ausgestattet ist, die auf natürliche Weise verträglich ist mit der koordinatenweisen Operation von G auf A. In diesem Fall nennt man A einen G-Modul. Sei weiterhin wp:A->A ein surjektiver G-Homomorphismus mit endlichem zyklischen Kern Mu_wp. Dann gibt es eine Bijektion zwischen der Menge der Untergruppen Delta von A mit wp(A cap F^m) < Delta < A cap F^m und der Menge der abelschen Erweiterungen E von F vom Exponenten |Mu_wp|. Wir wenden die allgemeine Kummertheorie an, um Kummer- und Artin-Schreier-Witt-Erweiterungen von F zu beschreiben. Enthält F die Menge aller n-ten Einheitswurzeln, wobei die Charakteristik von F Null oder teilerfremd zu n ist, dann ist eine Kummer-Erweiterung von F eine abelsche Erweiterung vom Exponenten n. Abelsche Erweiterungen von F vom Exponenten p^r, wobei p>0 die Charakteristik von F ist, heißen Artin-Schreier-Witt-Erweiterungen. Sei k ein endlicher (insbesondere vollkommener) Körper und F/k ein algebraischer Funktionenkörper über k. Sei S eine echte Teilmenge der Menge der Stellen von F und E eine zyklische Kummer oder Artin-Schreier-Witt Erweiterung von F. Das Hauptergebnis dieser Arbeit ist die Entwicklung eines Verfahrens zur Berechnung des Ringes O_S(E) der an allen Stellen aus S ganzen Elemente von E. Wir geben Algorithmen an, die eine endliche Menge Omega von O_S-Erzeugern von O_S(E) ermitteln. Das geschieht, indem für jedes P aus S eine Menge Omega_P von S-ganzen Erzeugern von O_P(E) über O_P berechnet wird. Die Menge, die aus der Vereinigung dieser Omega_P besteht, ist die gesuchte Menge Omega. Sie ist endlich, da die Mengen Omega_P gleich sind für fast alle P aus S. Am Schluß der Arbeit listen wir Beispiele auf, welche die Effizienz der hier entwickelten Methode zur Berechnung von Ganzheitsringen demonstrieren, indem wir sie mit einer allgemeinen, auf dem Round 2 Algorithmus basierenden Methode, vergleichen.
Let F be a field and L be an arbitrary (finite or infinite) Galois extension of F with Galois group G. We give a detailed presentation of general Kummer theory, which gives us an abstract tool to characterize all Abelian extensions E of F with E subset L: Let A be a subset of L^m which has a group structure which is compatible with the coordinatewise operation of G on A. Then A is called a G-module. Furthermore let wp:A->A be a surjective G-homomorphism with finite cyclic kernel Mu_wp. Then there is a bijection between the set of subgroups Delta of A with wp(A cap F^m) < Delta < A cap F^m and the set of Abelian extensions E of F of exponent |Mu_wp| We then use general Kummer theory to describe Kummer and Artin-Schreier-Witt extensions. Suppose F contains the set of all n-th roots of unity, where the characteristic of F is zero or coprime to n. Then a Kummer extension of F is an Abelian extension of exponent n. Abelian extensions F of exponent p^r, where p>0 is the characteristic of F, are called Artin-Schreier-Witt extensions. Let k be a finite (in particular perfect) field and F/k be an algebraic function field over k. Let S be a proper subset of the set of places of F and E a cyclic Kummer or Artin-Schreier-Witt extension of F. The main result of this thesis is the development of a procedure to compute the ring O_S(E) of elements of E which are integral at all places of S. We present algorithms which determine a set Omega of O_S-generators of O_S(E). This is done by computing for each P in S a set Omega_P of S-integral generators of O_P(E) over O_P. The set which consists of the union of all Omega_P is the sought-after set Omega of O_S-generators of O_S(E). Omega is finite since the sets Omega_P are equal for all but finitely many P aus S. At the end we give examples which demonstrate the efficiency of our method for computing integral closures by comparing it with a general method, which is based on the Round 2 algorithm.
URI: urn:nbn:de:kobv:83-opus-9598
http://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/1356
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-1059
Exam Date: 16-Feb-2005
Issue Date: 5-Apr-2005
Date Available: 5-Apr-2005
DDC Class: 510 Mathematik
Subject(s): Algebraic Funtion Fields
Artin-Schreier-Witt extensions
Kummer extensions
Maximal Orders
Usage rights: Terms of German Copyright Law
Appears in Collections:Technische Universität Berlin » Fakultäten & Zentralinstitute » Fakultät 2 Mathematik und Naturwissenschaften » Publications

Files in This Item:
File Description SizeFormat 
Dokument_16.pdf543,2 kBAdobe PDFThumbnail
View/Open


Items in DepositOnce are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.