Please use this identifier to cite or link to this item: http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-1072
Main Title: Polar Decompositions and Procrustes Problems in Finite Dimensional Indefinite Scalar Product Spaces
Translated Title: Polarzerlegungen und Prokrustesprobleme in endlichdimensionalen indefiniten Skalarprodukträumen
Author(s): Kintzel, Ulric
Advisor(s): Benner, Peter
Granting Institution: Technische Universität Berlin, Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften
Type: Doctoral Thesis
Language: English
Language Code: en
Abstract:       Das Problem zu vorgegebenen Matrizen <b>X</b>, <b>Y</b> aus <i>R<sup>n×N</sup></i> eine orthogonale Matrix <b>U</b> aus <i>R<sup>n×n</sup></i> der Art zu bestimmen, daß die Frobenius-Norm der Residuenmatrix <b>UX</b>-<b>Y</b> minimal ist, wird als orthogonales Prokrustesproblem bezeichnet. Es ist wohlbekannt, daß die gesuchte Matrix mittels einer Polarzerlegung <b>YX</b><sup>T</sup> = <b>UM</b> gefunden werden kann, in der sie als isometrischer Faktor auftritt. In der vorgelegten Dissertation werden Verallgemeinerungen dieser Fragestellung in nicht-Euklidischen reellen oder komplexen Vektorräumen untersucht, in denen die zugrundeliegende Geometrie durch ein indefinites Skalarprodukt festgelegt ist. Ein solches Skalarprodukt kann stets in der Form (<b>H</b>.,.) dargestellt werden, worin <b>H</b> eine reguläre selbstadjungierte Matrix mit positiven und negativen Eigenwerten ist und (.,.) das kanonische Skalarprodukt bezeichnet. <BR>       Zur Vorbereitung dieser Untersuchungen werden zunächst einige Unterraum-Zerlegungen und Aussagen über H-orthogonale Basen hergeleitet. Dies führt zu einer Verallgemeinerung der QR-Zerlegung, die als HQR-Zerlegung bezeichnet wird. Auf Basis dieser Grundlagen werden anschließend H-Polarzerlegungen diskutiert. Dabei wird ein neues Kriterium für die Existenz dieser Zerlegungen einer Matrix <b>A</b> angegeben, das auf dem Vergleich der kanonischen Formen der Matrizenpaare (<b>A</b><sup>[*]</sup><b>A</b>, <b>H</b>) und (<b>A</b><b>A</b><sup>[*]</sup>, <b>H</b>) beruht. Weiterhin werden indefinite Polarzerlegungen eingeführt, in denen die Faktoren doppelt-strukturiert bezogen auf zwei indefinite Skalarprodukte sind. Dabei werden Aussagen über die Existenz dieser (G,H)-Polarzerlegungen hergeleitet, die insbesondere auch in dem allgemeinen Fall gelten, in dem die zugrundeliegenden Metriken ein nicht-defektives Hermitesches Matrizenbüschel bilden. <BR>       Die Theorie der indefiniten Polarzerlegungen wird dann benutzt, um zwei der gestellten indefiniten Prokrustesprobleme zu lösen. Dabei zeigt sich, daß die Lösung der Aufgaben genau dann möglich ist, wenn bestimmte semidefinite H-Polarzerlegungen oder H-semidefinite (G,H)-Polarzerlegungen existieren. Im konkreten Fall des H-isometrischen Prokrustesproblems stellt sich heraus, daß die gesuchte H-Isometrie <b>U</b> als Faktor einer semidefiniten H-Polarzerlegung <b>YX</b><sup>*</sup><b>H</b> = <b>UM</b> bestimmt werden kann. Existiert keine solche Zerlegung, in der <b>HM</b> positiv semidefinit sein muß, so besitzt die Aufgabe keine Lösung. <BR>       Zur numerischen Behandlung der Prokrustesprobleme werden auch Methoden zur Berechnung von H- und (G,H)-Polarzerlegungen angegeben. Dies umfaßt Methoden zur Berechnung von H-Polarzerlegungen einer Matrix <b>A</b>, für die entweder <b>A</b><sup>[*]</sup><b>A</b> diagonalisierbar ist oder für die <b>A</b><sup>[*]</sup><b>A</b> keine nicht-positiven Eigenwerte besitzt. Für ein drittes indefinites Prokrustesproblem kann keine analytische Lösung gefunden werden. Jedoch wird ein allgemeines Newton-Verfahren hergeleitet, mit dem die numerische Lösung aller Optimierungsaufgaben zur Bestimmung von Isometrien möglich ist, bei denen die Optimierungsfunktion durch eine quadratische Form der vektorisierten Isometrie dargestellt werden kann. Diese Darstellung existiert insbesondere im Fall aller untersuchten Prokrustesprobleme, aber auch H-Polarzerlegungen können mit dem Verfahren berechnet werden. <BR>       Letztlich wird auch noch ein numerisches Verfahren entwickelt, mit dem die kanonische Form des Matrizenpaares (<b>A</b>, <b>H</b>) mit einer beliebigen H-Hermiteschen Matrix <b>A</b> berechnet werden kann. Dieses Verfahren beruht auf der Berechnung der Jordanschen Normalform der Matrix <b>A</b> und einer Normalisierungsprozedur, die eine Verallgemeinerung des Cholesky-Verfahrens darstellt. In Verbindung mit den übrigen numerischen Algorithmen können damit in vielen Fällen auch H-Polarzerlegungen beliebiger Matrizen bestimmt werden.
      The problem of determining for given matrices <b>X</b>, <b>Y</b> in <i>R<sup>n×N</sup></i> an orthogonal matrix <b>U</b> in <i>R<sup>n×n</sup></i> such that the Frobenium norm of the residual matrix <b>UX</b>-<b>Y</b> becomes a minimum is called the orthogonal Procrustes problem. It is a well-known fact that the wanted matrix can be obtained via a polar decomposition <b>YX</b><sup>T</sup> = <b>UM</b> in which it appears as the isometric factor. In the presented thesis generalisations of this problem in non-Euclidean real or complex vector spaces are considered in which the underlying geometry is based on an indefinite scalar product. Such a scalar product can always be written in the form (<b>H</b>.,.) where <b>H</b> is a nonsingular selfadjoint matrix having positive and negative eigenvalues, and (.,.) denotes the canonical scalar product. <BR>       In preparation of these investigations several subspace decompositions and statements on H-orthogonal bases are derived. This leads to a generalisation of the QR decomposition which is called the HQR decomposition. Based on these fundamentals H-polar decompositions are discussed. Here a new criterion for the existence of such a decomposition of a matrix <b>A</b> is given which is based on the comparison of the canonical forms of the matrix pairs (<b>A</b><sup>[*]</sup><b>A</b>, <b>H</b>) and (<b>A</b><b>A</b><sup>[*]</sup>, <b>H</b>). Furthermore, indefinite polar decompositions in which the factors are doubly-structured with respect to two indefinite scalar products are introduced. Thereby statements on the existence of these (G,H)-polar decompositions are derived which hold when the underlying metrics form a non-defective Hermitian matrix pencil. <BR>       Thereafter the theory of the indefinite polar decompositions is applied for solving two of the considered indefinite Procrustes problems. It is found that the solution of these problems is possible if and only if there exist semidefinite H-polar decompositions or H-semidefinite (G,H)-polar decompositions of particular matrices. In the particular case of the H-isometric Procrustes problem it turns out that the wanted H-isometry <b>U</b> can be determined as a factor of the semidefinite H-polar decomposition <b>YX</b><sup>*</sup><b>H</b> = <b>UM</b>. If no such decomposition exists, in which <b>HM</b> must be positive semidefinite, then the problem is unsolvable. <BR>       For the numerical treatment of the Procrustes problems methods for computing H- and (G,H)-polar decompositions are given. These methods apply for computing H-polar decompositions of a matrix <b>A</b>, if either <b>A</b><sup>[*]</sup><b>A</b> is diagonalisable, or <b>A</b><sup>[*]</sup><b>A</b> has no non-positive eigenvalues. For a third indefinite Procrustes problem no analytic solution is found. However, a general Newton method is derived with which all optimisation problems for determining isometries can be solved where the objective function can be formulated as a quadratic form of the vectorised isometry. In particular, this formulation is possible in the case of all investigated Procrustes problems. Moreover, the method can also be used for computing H-polar decompositions. <BR>       Finally, a numerical algorithm for computing the canonical form of a matrix pair (<b>A</b>, <b>H</b>) with an arbitrary H-Hermitian matrix <b>A</b> is developed. This algorithm is based on the computation of the Jordan normal form of the matrix <b>A</b> and a normalisation step which constitutes a generalisation of the Cholesky factorisation. In connection with the other numerical methods this algorithm in many cases also applies for computing H-polar decompositions of arbitrary matrices.
URI: urn:nbn:de:kobv:83-opus-9721
http://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/1369
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-1072
Exam Date: 11-Apr-2005
Issue Date: 28-Apr-2005
Date Available: 28-Apr-2005
DDC Class: 510 Mathematik
Subject(s): Indefinite Skalarprodukte
Kanonische Formen
Matrixgleichungen
Polarzerlegungen
Prokrustesprobleme
Canonical forms
Indefinite scalar products
Matrix equations
Polar decompositions
Procrustes problems
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