Please use this identifier to cite or link to this item: http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-1110
Main Title: Cosmological solutions of the Einstein-Vlasov-scalar field system
Author(s): Tegankong, David
Advisor(s): Rendall, Alan
Granting Institution: Technische Universität Berlin, Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften
Type: Doctoral Thesis
Language: English
Language Code: en
Abstract: Ziel dieser Arbeit ist es, möglichst viele Informationen zu erhalten über globale Lösungen des Cauchy-Problems für das Einstein-Vlasov-Skalarfeld-System mit sphärischer, ebener und hyperbolischer Symmetrie, unter Verwendung von Flächenkoordinaten. Die Quellen in diesem System werden durch eine Verteilungsfunktion bzw. ein lineares Skalarfeld, die die Vlasov-Gleichung bzw. die Wellengleichung erfüllen. Dieses System beschreibt die Zeitentwicklung selbstgravitierender Materie und skalare Wellen im Rahmen der allgemeinen Relativitätstheorie. Wir betrachten den kosmologischen Fall. Das heisst, die Raumzeiten besitzen eine kompakte Cauchy-Hyperfläche und die Daten werden auf einer kompakten 3-Mannigfaltigkeit vorgegeben. Wir erweitern die von G. Rein erhaltenen Ergebnisse die den Fall des Einstein-Vlasov-Systems betreffen, in dem ausschliesslich stossfreie Materie vorhanden ist. Die Erweiterung betrifft punktweise Abschätzungen für hyperbolische Gleichungen mit der Methode der Charakteristiken. Dabei wird das System in ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen transformiert, die längs Charakteristiken integriert werden. Die Zwangsgleichung für die Anfangsdaten reduziert sich auf eine gewöhnliche Differentialgleichung und wird gelöst. In der Vergangenheit der Anfangshyperfläche werden globale Existenzsätze für allgemeine Anfangsdaten gezeigt. Der Beweis basiert auf einer Variablentransformation, die durch die Arbeit von M. Weaver angeregt wurde. Die Natur der Singularität wird analysiert. Die Krümmungsinvariante, Kretschmann-Skalar genannt, explodiert für t gegen Null, so dass es eine Singularität bei t gleich Null gibt. Wir beweisen, dass es im kugelsymmetrischen Fall keine globale Lösung in der Zukunft gibt. In den Fällen der ebenen und hyperbolischen Symmetrie strebt der Flächenradius gegen unendlich, so dass wir globale Lösungen in der expandierenden Richtung erhalten. Im Spezialfall mit ebener Symmetrie und ohne einen Beitrag der Vlasov-Gleichung, zeigen wir dass das asymptotische Verhalten ähnlich dem der Kasner-Lösung ist, sowohl in der Vergangenheit als auch in der Zukunft. Ausserdem ist die Raumzeit, die man auf diese Weise bekommt, geodätisch vollständig. Abschliessend zeigen wir dass räumlich homogene Lösungen des Einstein-Vlasov-Skalarfeld-Systems in der Zukunft global existieren und geodätisch vollständig sind. Die Asymptotik in der Zukunft ist im Falle der ebenen Symmetrie der Asymptotik der Kasner-Lösung ähnlich.
The aim of this thesis is to obtain as much information as possible, about global solutions of the Cauchy problem for the Einstein-Vlasov-scalar field system with spherical, plane and hyberbolic symmetries written in areal coordinates. The sources of this system are generated by both a distribution function and a linear scalar field subject to the Vlasov and wave equations respectively. This system describes the evolution of self-gravitating collisionless matter and scalar waves within the context of general relativity. We consider the cosmological case. That is spacetimes possess a compact Cauchy hypersurface and then, data are given on a compact 3-manifold. We extend the local-in-time results obtained by G. Rein for the Einstein-Vlasov system with collisionless matter alone. This extension concerns pointwise estimates for hyperbolic equations by the method of characteristics. This means that the system is transformed to a system of ordinary differential equations which are integrated along characteristics. The constraint equation on the initial data reduced to an ordinary differential equation of first order and is solved. In the past direction, we show global existence results for general data. The proof is based on a change of variables inspired by the work of M. Weaver. The nature of singularity is analyzed. The curvature invariant called Kretschmann scalar blows up as t tends to 0 so that there is a singularity at t equal zero. We prove that there is no global solution in the future in the spherical symmetry case. In the plane and hyperbolic symmetries, the area radius goes to infinity and so we obtain global solutions in the expanding direction. In the special case of plane symmetry without Vlasov contribution, we show that the asymptotics are Kasner-like at early time. Moreover the spacetime obtained in this case is future geodesically complete. We conclude the work by showing that the spatially homogeneous solutions of the plane and hyperbolic symmetric Einstein-Vlasov-scalar field system exist globally in the future and the corresponding spacetimes are geodesically complete. Future asymptotics are Kasner-like in the plane symmetric case.
URI: urn:nbn:de:kobv:83-opus-10074
http://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/1407
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-1110
Exam Date: 19-May-2005
Issue Date: 16-Jun-2005
Date Available: 16-Jun-2005
DDC Class: 510 Mathematik
Subject(s): Einstein-Gleichung
Existenztheorem
Kosmologie
Skalarfeld
Cosmology
Einstein equation
Existence theorem
Scalar field
Usage rights: Terms of German Copyright Law
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