Please use this identifier to cite or link to this item: http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-1186
Main Title: Eine Methode zur vollständigen Bestimmug der Eigenzustände reeller symmetrischer Profilmatrizen
Translated Title: The computation of eigenstates of real symmetric profile matrices
Author(s): Ruess, Martin
Advisor(s): Pahl, Peter Jan
Granting Institution: Technische Universität Berlin, ehemalige Fakultät VI - Bauingenieurwesen und Angewandte Geowissenschaften
Type: Doctoral Thesis
Language: German
Language Code: de
Abstract: Die Bearbeitung von Ingenieuraufgaben erfordert häufig die Bestimmung einer größeren Anzahl von Eigenwerten und Eigenvektoren großer symmetrischer Profilmatrizen. Schwingungs- und Stabilitätsuntersuchungen an Bauwerken und Tragkonstruktionen gehören zu den klassischen Aufgabenbereichen im Bauwesen, die als Teil der Aufgabenstellung die Lösung einer allgemeinen oder speziellen Eigenwertaufgabe beinhalten. Die Inverse Matrixiteration ist ein neues, profilerhaltendes Verfahren zur Lösung der speziellen Eigenwertaufgabe großer symmetrischer Profilmatrizen. Das Verfahren basiert auf dem QR-Algorithmus zur Bestimmung der Eigenzustände vollbesetzter Matrizen. Durch eine Reihe von Erweiterungen wurde eine Methode entwickelt, die sich durch ein hohes Maß an Flexibilität und Zuverlässigkeit hinsichtlich des Berechnungsablaufs und hinsichtlich der Eigenschaften der Lösung auszeichnet. Die Methode bestimmt eine beliebige Anzahl Eigenwerte und Eigenvektoren unabhängig voneinander. Die Eigenwerte konvergieren schrittweise und in sortierter Reihenfolge, beginnend mit dem betragskleinsten Eigenwert. Dies ermöglicht den effektiven Einsatz einer Spektralverschiebung zur Bestimmung von Eigenwerten in beliebigen Bereichen des Eigenwertspektrums der Aufgabe. Durch eine kontinuierliche Deflation der Matrix wird die Dimension der Aufgabe stetig reduziert. Der numerische Aufwand des Verfahrens nimmt mit zunehmender Anzahl bestimmter Eigenwerte kontinuierlich ab. Das Verfahren bestimmt betragsgleiche Eigenwerte mit gleichen und unterschiedlichen Vorzeichen und Cluster schlecht getrennter Eigenwerte mit hoher Genauigkeit und Zuverlässigkeit. Eine wesentliche Verbesserung des Konvergenzverlaufs der Iteration wurde durch eine wiederholte Prekonditionierung der Matrix und die Jacobi-Randkorrektur erreicht. Beide Methoden sind profilerhaltend und werden lokal zur Vermeidung einer Stagnation der Konvergenz eingesetzt. Das entwickelte Verfahren wurde in einer objektorientierten Entwicklungsumgebung implementiert. Für die Umsetzung und Untersuchung des neu entwickelten Verfahrens und der Vergleichsverfahren wurde ein Softwarepaket entwickelt und implementiert, das gestützt auf die Finite-Element-Methode als Untersuchungs- und Entwicklungsumgebung zur Bearbeitung numerischer Problemstellungen dient. Zur Beurteilung und Einordnung der Inversen Matrixiteration wurden zwei Vergleichsverfahren implementiert, die den Entwicklungsstand der Methoden zur Lösung der reellen, symmetrischen Eigenwertaufgabe widerspiegeln. Untersucht wurde der numerische Aufwand der Verfahren, der Speicherbedarf, das Konvergenzverhalten, sowie die Zuverlässigkeit und Genauigkeit der Berechnungsergebnisse. Mit dem Vergleich der Verfahren wird die Inverse Matrixiteration bewertet und eingeordnet. Die Genauigkeit und Zuverlässigkeit der Ergebnisse bei der Eigenwert- und Eigenvektorbestimmung rechtfertigen einen teilweise erhöhten numerischen Aufwand. Für das neu entwickelte Verfahren wurde mit der Untersuchung des Schwingungsverhaltens von Bauwerken ein Anwendungsfall beispielhaft dokumentiert.
Eigenvalue problems are common in engineering tasks. In particular the prediction of structural stability and dynamic behavior are important aspects in engineering that lead to eigenvalue problems for which a set of successive eigenvalues and eigenvectors must be determined. The Inverse Matrixiteration is a new method for the solution of the standard eigenvalue problem with large symmetric profile matrices. The method is based on the well-known QR-method for dense matrices. With several extensions a new, flexible and reliable method was developed that is highly suited for the independent computation of any set of eigenvalues and eigenvectors of profile matrices. The method retains the profile structure of the matrix. The eigenvalues converge stepwise in sorted order, starting with the eigenvalue of smallest modulus. An effective spectral shift strategy in combination with deflation of computed eigenstates allows a selective computation of eigenstates in any part of the complete eigenvalue spectrum. The dimension of the eigenvalue problem decreases stepwise, thus reducing the numerical effort of the computation. The rate of convergence increases continuously. Eigenvalues of equal sign or clustered eigenvalues are often determined in the same iteration cycle. A repeated preconditioning process in combination with Jacobi rotations in the parts of strongest convergence of the matrix lead to a significant improvement of the global convergence behavior. Both developments retain the profile structure of the matrix. A suitable algorithm is developed and implemented in an object-oriented Finite-Element-Application for the analysis of structural problems in engineering tasks. Several examples demonstrate the flexibility and reliability of the new method. Two state-of-the-art solution methods are documented and implemented to compare the efficiency of the Inverse Matrixiteration. Different criteria including the numerical effort and the storage requirements as well as the reliability and the accuracy of the computation are introduced for a classification of the new method. The strength of the Inverse Matrixiteration lies in the computation of any subset of eigenstates of very large matrices with profile structure. The numerically stable and very reliable computation of selected eigenvectors justify a slightly higher numerical effort. The advantageous use of the new method is illustrated with a detailed example for the dynamic analysis of structures in Civil Engineering.
URI: urn:nbn:de:kobv:83-opus-10885
http://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/1483
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-1186
Exam Date: 27-Jun-2005
Issue Date: 5-Sep-2005
Date Available: 5-Sep-2005
DDC Class: 620 Ingenieurwissenschaften und zugeordnete Tätigkeiten
Subject(s): Eigenvektoren
Eigenwerte
Profilmatrix
QR-Verfahren
Schwingungsaufgabe
Eigenvalue
Eigenvector
Oscillation
Profile matrix
QR-method
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