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Main Title: Über Torsionspunkte elliptischer und hyperelliptischer Kurven nebst Anwendungen
Translated Title: On torsion points of elliptic and hyperelliptic curves with applications
Author(s): Schöpp, Andreas M.
Advisor(s): Pohst, Michael E.
Granting Institution: Technische Universität Berlin, Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften
Type: Doctoral Thesis
Language: German
Language Code: de
Abstract: Sei f(x) aus K[x] ein normiertes Polynom vom Grad 2g+1 oder 2g+2 ohne mehrfache Nullstellen über einem Zahlkörper K. Die Kurve C : y^2 = f(x) ist eine elliptische Kurve für g=1 bzw. eine hyperelliptische Kurve für g > 1. Es werden (für g > 1) parametrisierte Kurvenfamilien berechnet, deren Jacobische Varietäten eine Divisorenklasse der Ordnung l=5,7,10 besitzen. Außerdem werden für 2 < l < 11 und l=12 Familien von Zahlkörpern konstruiert, deren Galoisgruppe die Diedergruppe mit 2l Elementen ist. Für l=4,5 bei Signatur (2,1) bzw. (1,2) werden Fundamentaleinheiten für die parametrisierten Körper bestimmt. Darüber hinaus werden für 2 < l < 7 Unterfamilien der Zahlkörper angegeben, deren Galoisgruppe zyklisch mit Ordnung l ist. Ausgangspunkt der Kurvenberechnung ist die Polynomgleichung P^2 - Q^2 F = constant. Es wird bewiesen, dass die Jacobische Varietät der zur Polynomgleichung gehörenden Kurve y^2 = F(x) eine Divisorenklasse besitzt, deren Ordnung den Grad von P teilt. Familien hyperelliptischer Kurven werden konstruiert, deren Jacobische Varietäten eine Divisorenklasse der Ordnung 5,7 bzw. 10 besitzen. Es wird gezeigt, dass in diesen Familien die Modulkurven X_0(N) mit N=22,29,31,41 liegen. Im Zusammenhang mit der Konstruktion steht für X_0(N) mit Gleichung y^2 = F(x) eine Faktorisierung F(x) = F_1(x) F_2(x), die auch für N=23,47,59,71 angegeben wird. Zur Konstruktion von Zahlkörperfamilien mit Diedergruppe als Galoisgruppe wird ein Torsionspunkt A der Ordnung l einer parametrisierten Familie elliptischer Kurven (Kubert-Kurven) genutzt. Die x-Koordinate der Punkte P + iA für 0<i<l+1 und einen beliebigen, nicht-rationalen Punkt P ergeben das erzeugende Polynom F_l durch das Produkt der Faktoren x-x(P+iA) über alle i. F_l besitzt die Diedergruppe als Galoisgruppe ist. Für l=4 und Signatur (2,1) bzw. für l=5 und Signatur (1,2) werden Systeme von Fundamentaleinheiten in der von F_l erzeugten Gleichungsordnung angegeben. Der Beweis der Fundamentalität für l=5 erfordert dabei Abschätzungen der komplexen Nullstellen von F_5. Die Bestimmung von Zahlkörperfamilien mit zyklischer Galoisgruppe erfolgt über eine Indikatorfunktion, die in engem Zusammenhang zu Quotientenkurven steht. Solche Zahlkörper werden für 2<l<7 angegeben. Abschließend werden ausgehend von den konstruierten hyperelliptischen Kurven 49 imaginärquadratische Zahlkörper mit 5-Rang 3 und 67 Zahlkörper mit 7-Rang 2 berechnet.
Let f(x) be a monic polynomial of degree 2g+1 or 2g+2 over a number field K. The curve y^2 = f(x) is an elliptic curve for g=1 and a hyperelliptic curve for g>1. We construct (for g>1) parametric families of curves, whose Jacobians have a divisor class of order l=5,7,10. Further for 2<l<11 and l=12 we construct families of number fields with galois group the diedral group with 2l elements. For these fields we compute systems of fundamental units for l=4,5 and signature (2,1) and (1,2). For 2<l<7 we give subfamilies of number fields with cyclic galois group of order l. We start with a polynomial equation P^2 - Q^2 F = constant. We show that the Jacobian of the curve y^2 = F(x) has a divisor class whose order divides the degree of P. Families of hyperelliptic curves are constructed which have divisor classes of order 5, 7 or 10 in their Jacobians. We show that the families contain modular curves X_0(N) for N=22,29,31,41. All hyperelliptic modular curves X_0(N) with N a prime number (not 37) fit into the described strategy. The construction of parametric number fields with diedral galois group uses a torsion point A of order l of parametric families of elliptic curves. The x-coordinates of the points P+iA for a non rational point P give the polynomial F_l as a product of the factors (x-x(P+iA)) for 0<i<l+1. F_l has diedral galois group. For l=4 with signature (2,1) and for l=5 with signature (1,2) we compute systems of fundamental units for the equation orders generated by F_l. The proof of the fundamentality in case l=5 is done by approximations of the complex roots of F_5. The construction of families of number fields with cyclic galois group is based on indicator functions. These are linked to certain quotient curves. We construct such number fields for 2<l<7. Finally we give 49 imaginary quadratic number fields with 5 rank 3 and 67 number fields with 7 rank 2 by using the constructed hyperelliptic curves.
URI: urn:nbn:de:kobv:83-opus-11839
http://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/1565
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-1268
Exam Date: 2-Dec-2005
Issue Date: 23-Dec-2005
Date Available: 23-Dec-2005
DDC Class: 510 Mathematik
Subject(s): Elliptische Kurven
Hyperelliptische Kurven
Jacobische Varietät
Parametrisierte Zahlkörper
Torsionspunkte
Elliptic curves
Hyperelliptic curves
Jacobians
Parametric number fields
Torsion points
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