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Main Title: Numerical Solution of Quasi-Linear Differential-Algebraic Equations and Industrial Simulation of Multibody Systems
Translated Title: Numerische Lösung von quasi-linearen differentiell-algebraischen Gleichungen und industrielle Simulation von Mehrkörpersystemen
Author(s): Steinbrecher, Andreas
Advisor(s): Mehrmann, Volker
Granting Institution: Technische Universität Berlin, Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften
Type: Doctoral Thesis
Language: English
Language Code: en
Abstract: In dieser Dissertationsschrift wird die numerische Integration von allgemeinen quasi-linearen differentiell-algebraischen Gleichungen (DAEs) hinsichtlich der numerischen Simulation von Mehrkörpersystemen untersucht. Basierend auf den Resultaten wurden zwei neue Algorithmen zur numerischen Integration allgemeiner Bewegungsgleichungen, wie sie in der industriellen Simulation vorherrschen, entwickelt und implementiert. Im Vordergrund dieser Arbeit stehen insbesondere drei Schwerpunkte,die nachfolgend erläutert werden. Der erste Schwerpunkt liegt in der Untersuchung quasi-linearer DAEs in ihrer allgemeinsten Form. Diese können sowohl über- als auch unterbestimmt sein und ihre führende Matrix und rechte Seite hängen dabei sowohl vom Zustand als auch von einer vorgegebenen Steuerfunktion ab. Als Grundlage der Untersuchung wird eine iterativ arbeitende Prozedur entwickelt, die eine Analyse der DAE ausschließlich basierend auf relevanten Gleichungen sowie deren Ableitungen erlaubt. Hierdurch ist der Aufwand gegenüber anderen Analysekonzepten deutlich reduziert. Diese Prozedur ermöglicht die Bestimmung grundlegender Eigenschaften quasi-linearer DAEs, insbesondere des maximalen Zwanglevels, was bei regulären DAEs dem Differentiationsindex gleich kommt. Basierend auf dieser Prozedur wird eine Regularisierungsmethode für allgemeine quasi-lineare DAEs entwickelt, die auf eine äquivalente DAE führt, welche aufgrund ihrer vorteilhaften Eigenschaften als Basis einer robusten numerischen Integration sehr geeignet ist. Basierend auf impliziten Runge-Kutta-Methoden wird ein Diskretisierungsverfahren entwickelt, welches in effizienter und einfacher Weise die Regularisierung der DAE und das Lösen der entstehenden linearen Systeme miteinander verbindet. Die Untersuchung allgemeiner Bewegungsgleichungen für allgemeine mechanische Mehrkörpersysteme bildet den zweiten Schwerpunkt. Die Ergebnisse vorhergegangener Untersuchungen hinsichtlich allgemeiner quasi-linearer DAEs werden auf die Bewegungsgleichungen unter größtmöglicher Ausnutzung von Strukturen der Bewegungsgleichungen angewandt. Mit Hilfe der Prozedur werden die grundlegenden Eigenschaften der Bewegungsgleichungen bestimmt und die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen untersucht. Zudem wird eine Regularisierung erarbeitet, die in einfacher und effizienter Weise durchführbar ist und als Grundlage einer effizienten und robusten numerischen Integration dient. Ausgehend von den Resultaten der Untersuchung der Bewegungsgleichungen werden als dritter Schwerpunkt zwei neue Integrationsalgorithmen entwickelt, welche die Integration allgemeiner, in industriellen Anwendungen vorherrschender Bewegungsgleichungen ermöglichen. Dabei wird, aufbauend auf einer Kombination aus entwickelter Regularisierungstechnik und Diskretisierung, unter Ausnutzung der vorherrschenden Struktur eine sowohl robuste als auch effiziente Integration ermöglicht. Versteckte Zwangsbedingungen wurden dabei ebenso berücksichtigt wie eventuelle Lösungsinvarianten. Abschließend wird die Effizienz und Robustheit dieser numerischen Algorithmen anhand mehrerer Anwendungsbeispiele demonstriert und mit herkömmlichen numerischen Algorithmen verglichen.
In this thesis we discuss the numerical integration of general quasi-linear differential-algebraic equations (DAEs) in view of the numerical simulation of multibody systems. Based on the obtained results we develop and implement two new numerical algorithms for the numerical integration of general equations of motion as they appear in industrial applications. This thesis is focused on three topics as elucidated in the following. The first topic involves the consideration of quasi-linear DAEs in their most general form which may be underdetermined or overdetermined. Their leading matrix and the right-hand side depend on the state as well as on a given control function. As a base for the analytical considerations we develop an iterative procedure which enables us to investigate the quasi-linear DAE. This procedure is only based on relevant equations and their derivatives. This fact reduces the effort significantly in comparison with the use of other analysis concepts. This procedure allows the determination of characteristic properties of a quasi-linear DAE, in particular, the maximal constraint level which corresponds to the differentiation index in case of regular DAEs. Furthermore, based on this procedure, a regularization technique for general quasi-linear DAEs is developed. This regularization technique yields an equivalent DAE which is suited for a robust numerical integration because of its favorable properties. Based on implicit Runge-Kutta methods we develop a discretization technique which connects in an efficient and simple way the developed regularization technique with the solution of the occuring linear algebraic systems. The investigation of general equations of motion for general mechanical multibody systems is the second topic of this thesis. The obtained results with respect to general quasi-linear DAEs will be applied to the equations of motion by maximal exploitation of their structure. By use of the procedure the characteristic properties of the equations of motion will be determined and the existence and the uniqueness of a solution will be discussed. Furthermore, a simple and efficient regularization technique adapted to the equations of motion will be developed. This serves as a base for an efficient and robust numerical integration of the equations of motion. The third topic in this thesis is the development and the implementation of two new integration algorithms for the numerical integration of equations of motion in their general form as discussed previously. These algorithms are based on the combination of the regularization and discretization technique discussed above and exploit the structure of the equations of motion. Therefore, they allow an efficient and robust numerical integration. Hidden constraints as well as possible solution invariants are respected. Concluding, the efficiency and robustness of both algorithms applied to several examples are demonstrated in comparison to other commonly used numerical algorithms.
URI: urn:nbn:de:kobv:83-opus-12916
http://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/1657
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-1360
Exam Date: 9-Mar-2006
Issue Date: 26-May-2006
Date Available: 26-May-2006
DDC Class: 510 Mathematik
Subject(s): Mehrkörpersysteme
Numerische Integration
Numerische Simulation
Quasi-lineare differentiell-algebraische Gleichungen
Regularisierung
Multibody systems
Numerical integration
Numerical simulation
Quasi-linear differential-algebraic equations
Regularization
Usage rights: Terms of German Copyright Law
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