Please use this identifier to cite or link to this item: http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-1583
Main Title: Random Walk Local Times, Dirichlet Energy and Effective Conductivity in the Random Conductance Model
Translated Title: Lokalzeiten von Irrfahrten, Dirichlet-Energie und Effektive Leitfähigkeit im Random Conductance Model
Author(s): Wolff, Tilman
Advisor(s): König, Wolfgang
Granting Institution: Technische Universität Berlin, Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften
Type: Doctoral Thesis
Language: English
Language Code: en
Abstract: In der Natur vorkommende Materialien sind selten vollständig homogen, sondern variieren auf mikroskopischer Ebene insbesondere bezüglich physikalischer Eigenschaften wie Wärme- oder elektrischer Leitfähigkeit. Das Random Conductance Model (RCM) beschreibt Diffusion und Wärmeleitung in einem Medium mit zufälligen räumlich unterschiedlichen Leitfähigkeiten und ist daher geeignet, Phänomene zu untersuchen, die auf derartiger Inhomogenität beruhen. Dem Langzeitverhalten der Lokal- oder Verweilzeiten einer Irrfahrt, obgleich es auch von eigenständigem Interesse ist, kommt besonders bei der Analyse des parabolischen Anderson-Modells (PAM), der diskreten Wärmeleitungsgleichung mit zufälligem Potential, zentrale Bedeutung zu. Die Lokalzeiten beschreiben die relative Aufenthaltsdauer der Irrfahrt in einem Punkt und damit die Stärke der Interaktion mit dem räumlich zufälligen Potential. Unter diesem Gesichtspunkt sowie aufgrund der zuvor erwähnten Inhomogenität ist die Analyse von Lokalzeiten einer Irrfahrt unter zufälligen Leitfähigkeiten naheliegend. Wir untersuchen das asymptotische Verhalten der Lokalzeiten einer solchen Irrfahrt in Form eines Prinzips großer Abweichungen bedingt darauf, dass sich die Irrfahrt innerhalb einer Region mit festem sowie auf einer bestimmten Skala wachsendem Durchmesser befindet. Hierbei betrachten wir sowohl feste Realisierungen der zufälligen Leitfähigkeiten, d.h. das quenched-Verhalten, als auch das annealed-Verhalten, also den Erwartungswert über alle möglichen Konfigurationen. Während sich die Ergebnisse der quenched-Analyse dank der mächtigen Resultate von Donsker, Varadhan und Gärtner sowie aus der Homogenisierungstheorie leicht erahnen lassen, gibt es im annealed-Regime eine bemerkenswerte Interaktion zwischen unregelmäßigem Verhalten der Lokalzeit auf der einen sowie der Leitfähigkeiten auf der anderen Seite, sobald die Verteilung der Leitfähigkeiten beliebig kleine positive Werte zulässt, deren Wahrscheinlichkeit auf exponentieller Skala ist. Die entscheidende Größe im Hinblick auf Lokalzeitasymptotik, aber auch auf andere Fragestellungen wie z.B. der sich ergebenden makroskopischen Leitfähigkeit, ist die sogenannte Dirichlet-Energie. Während die minimale Dirichlet-Energie unter gewissen Normierungs- sowie Nullrandbedingungen entscheidend für die Analyse von Lokalzeiten ist, führt ein analoges Minimierungsproblem unter linearen oder allgemeinen Dirichlet-Randbedingungen zur Effektiven Leitfähigkeit, d.h. der Leitfähigkeit eines Mediums, die sich bei infinitesimal kleiner Skala der Inhomogenitäten ergibt. Aufbauend auf den Ergebnissen der klassischen Homogenisierungstheorie sowie auf neueren Entwicklungen, betrachten wir die zufälligen Fluktuationen der Effektiven Leitfähigkeit auf großen räumlichen Skalen im Sinne eines zentralen Grenzwertsatzes.
Materials occurring in nature are in most cases not entirely homogeneous, but vary on the microscopic level particularly with regard to physical properties such as electric or heat conductance. The random conductance model (RCM) describes diffusion and heat propagation in a medium with spatially random conductances and is suitable for analysing phenomena that result from these inhomogeneities. The large-time behavior of local times (or occupation time measures) of a random walk, albeit of self-contained interest, is especially important in the analysis of the parabolic Anderson model (PAM), the heat equation on the lattice with random potential. The local times describe the relative occupation time of the walk in each site, and therefore the strength of local interaction with the random potential. In view of that and taking into account the aforementioned inhomogeneity, it seems obvious to study local times of a random walk among random conductances. We analyse the asymptotic behavior of the local times in terms of a large deviation principle (LDP) conditioned on the random walk staying in a region the diameter of which either stays fixed or grows on a particular scale. Here, we consider both fixed realizations of the random conductances, i.e., the quenched behavior, and annealed asymptotics, which involves taking expectation w.r.t. the field of conductances. Regarding the quenched setting, the obtained results do not seem very surprising thanks to the seminal work of Donsker, Varadhan and Gärtner as well as standard results from homogenization theory. However, we find that the annealed behavior is governed by a remarkable interaction between irregular behavior of the local times on the one hand and the conductance profile on the other, if the distribution of the conductance field allows for arbitrary small positive values with exponential tails at zero. Analysis of the so-called Dirichlet energy is crucial not only with regard to local time asymptotics, but also when it comes to other important questions such as the one of resulting macroscopic conductance. While minimizing Dirichlet energy under certain norming conditions is essential when considering local time asymptotics, an analogous minimization problem under linear boundary conditions leads to the effective conductivity, that is, the macroscopic conductivity that results when inhomogeneities are on an infinitesimal scale. Based on results from the classical theory of homogenization as well as a number of more recent developments, we study the random fluctuations of the effective conductivity on large spatial scales in terms of a central limit theorem.
URI: urn:nbn:de:kobv:83-opus-40489
http://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/1880
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-1583
Exam Date: 6-Jun-2013
Issue Date: 28-Jun-2013
Date Available: 28-Jun-2013
DDC Class: 510 Mathematik
Subject(s): Große Abweichungen
Homogenisierung
Irrfahrten
Lokalzeiten
Random Conductance Model
Homogenization
Large Deviations
Local Times
Random Conductance Model
Random Walk
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