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Main Title: Systematic Discretization of Input/Output Maps and other Contributions to the Control of Distributed Parameter Systems
Translated Title: Systematische Diskretisierung von Eingangs/Ausgangs-Abbildungen und andere Beiträge zur Beeinflussung von Systemen mit verteilten Parametern
Author(s): Schmidt, Michael
Advisor(s): Mehrmann, Volker
Granting Institution: Technische Universität Berlin, Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften
Type: Doctoral Thesis
Language: English
Language Code: en
Abstract: Der deutsche Titel der Dissertation lautet “Systematische Diskretisierung von Eingangs/Ausgangs-Abbildungen und andere Beiträge zur Beeinflussung von Systemen mit verteilten Parametern”. Entsprechend widmet sich die Arbeit dem mathematischen Forschungsgebiet der Beeinflussung von physikalischen Systemen, die durch partielle Differentialgleichungen beschrieben werden. Ein besonderer Schwerpunkt wird dabei auf Systeme zur Beschreibung von Fluiden gelegt. In einem einleitenden Kapitel wird dieses Forschungsgebiet grob umrissen: Die Steuerung und Regelung komplexer physikalischer Systeme liegt in der Schnittmenge vieler ingenieur- und naturwissenschaftlicher Disziplinen und nicht zuletzt der Mathematik. Innerhalb der Mathematik sind insbesondere die mathematische Modellierung, die Untersuchung systemtheoretischer Eigenschaften, sowie die Entwicklung und numerische Umsetzung von effizienten Beeinflussungsmethoden wichtige Problemstellungen. Dieses weite Problemspektrum - von fundamentalen Grundlagenfragen bis hin zur konkreten Anwendung mathematischer Methoden in ingenieurwissenschaftlichen Anwendungen – spiegelt sich auch in den übrigen Kapiteln der Dissertation wider. Im zweiten Kapitel werden systemtheoretische Eigenschaften von sogenannten Couette-Strömungen untersucht. Dies sind spezielle Strömungen, die sich zwischen zwei rotierenden coaxialen Zylindern ausbilden können. In Zusammenarbeit mit E. Trélat gelang es, analytisch zu zeigen, dass man das betrachtete Fluid von jeder Couette-Strömung in jede andere Couette-Strömung durch eine Änderung der Rotationsgeschwindigkeit des äußeren Zylinders überführen kann. Damit wurde ein Steuerbarkeitsresultat für einen speziellen Fall der dreidimensionalen instationären Navier-Stokes-Gleichungen erbracht. Im dritten Kapitel wird eine neue Methode zur Komplexitätsreduktion bei linearen instationären Systemen mit verteilten Parametern vorgeschlagen. Ausgehend von der Idee, dass die Eingangs/Ausgangs-Abbildung von Systemen die entscheidenden Informationen für eine spätere Beeinflussung enthält, diskretisieren wir direkt die E/A-Abbildung des unendlich-dimensionalen Systems in Ort und Zeit. Diese Diskretisierung läßt sich dann als eine E/A-Matrix darstellen, die sich insbesondere für die schnelle Lösung von Optimierungsaufgaben eignet. Es werden analytische Fehlerschätzungen und numerische Beispiele für Wärmeleitungsgleichungen und Stokes-Gleichungen präsentiert. Im vierten Kapitel geht es um die Entwicklung von zielorientierten Fehlerschätzern und adaptiven Diskretisierungen für instationäre partielle Differentialgleichungen, die auf dem Konzept der Dual-Weighted-Residuals (DWR) basieren. Für das Konzept der Diskretisierung von E/A-Abbildungen ist der zielorientierte Ansatz besonders interessant, da hier zuverlässige Näherungen von Beobachtungen der Systemdynamik und nicht der Systemdynamik selbst benötigt werden. Neben der Theorie für allgemeine parabolische Systeme wird auch die numerische Umsetzung (unter Mithilfe von C. Kamm) am Beispiel der Wärmeleitungsgleichung diskutiert. Im fünften Kapitel wird eine Software-Schnittstelle zwischen leistungsstarken CFD-Codes und für den Regelungsentwurf geeigneten Software-Umgebungen wie Matlab konzipiert. Mit der Schnittstelle kann von Matlab aus in jedem simulierten Zeitschritt komfortabel auf Beobachtungen des numerisch simulierten Geschwindigkeitsfeldes zugegriffen werden, um dieses dann über Steuerungen gezielt zu beeinflussen. Dies ermöglicht die einfache Implementierung und den Test von Aktuations-, Sensor- und Regelungskonzepten mit nur minimalen Kenntnissen über den CFD-Code. In Zusammenarbeit mit L. Henning, D. Kuzmin, V. Mehrmann, A. Sokolov und S. Turek wurde das Konzept für das Beispiel einer Strömung über eine rückwärtsgewandte Stufe numerisch implementiert und getestet. Die in der Arbeit erzielten Resultate werden in einem abschließenden sechsten Kapitel zusammengefaßt, ein Anhang enthält ergänzendes Material.
This PhD thesis deals with the control of physical systems which are described by partial differential equations, with a special focus on fluid dynamics. An introductory chapter provides a brief overview of the research area: The control of complex physical systems lies in the intersection of many engineering disciplines and natural sciences, not least mathematics. Within mathematics, the mathematical modelling, the investigation of system-theoretic properties and the numerical realization of efficient control methods are important problems. This wide range of problems – from fundamental questions to concrete realizations in engineering applications – is also reflected in the following chapters of the thesis. In the second chapter the system-theoretic properties of so-called Couette flows are investigated. Couette flows are specific fluid flows which may occur between two rotating coaxial cylinders. In cooperation with E. Trélat it was possible to show analytically, that one can steer a fluid from one Couette flow to any other one by changing the angular velocity of the outer cylinder slowly enough. In this way a controllability result for a very special case of the three-dimensional Navier-Stokes equations has been established. In the third chapter a new method for the reduction of the complexity of linear instationary systems with distributed parameters is proposed. Motivated by the idea, that the input/output map of a system contains the crucial information for controlling the system, the i/o map of the infinite-dimensional system is directly discretized in space and time. This discretization can then be represented by means of an i/o matrix, which is especially suited for the fast approximate solution of optimization problems. Analytical error estimates are established, and numerical examples are shown for the heat equation and for the Stokes equations. The fourth chapter deals with the development of goal-oriented error estimators and adaptive discretization methods for instationary partial differential equations, which are based on the Dual-Weighted-Residual (DWR) concept. This concept is especially suited for the discretization of i/o-maps since here only accurate approximations of observations of the system dynamics are required. We discuss the theory for general parabolic problems and the numerical realization (in cooperation with C. Kamm) for the example of the heat equation. In the fifth chapter we present a software interface between performant CFD codes and software environments like Matlab, which are more suited for control design purposes. By means of such an interface Matlab can access in each time step comfortably on observations of the numerically simulated velocity field, in order to systematically influence the fluid in the next step by means of a calculated control. This interface makes the easy implementation of actuator, sensor and control concepts possible, without requiring deep insight into the CFD code. In cooperation with L. Henning, D. Kuzmin, V. Mehrmann, A. Sokolov and S. Turek, the concept has been implemented and tested for the benchmark example of a fluid flow over a backward facing step. A concluding chapter resumes the results established in this thesis, an appendix contains supplementary material.
URI: urn:nbn:de:kobv:83-opus-15693
http://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/1897
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-1600
Exam Date: 3-May-2007
Issue Date: 23-May-2007
Date Available: 23-May-2007
DDC Class: 510 Mathematik
Subject(s): Diskretisierung
Kontrolltheorie
Modellreduktion
Partielle Differentialgleichung
Strömungen
Control theory
Discretization
Fluid flows
Model reduction
Partial differential equation
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