Please use this identifier to cite or link to this item: http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-1651
Main Title: Weyl-Heisenberg Representations in Communication Theory
Translated Title: Weyl-Heisenberg Darstellungen in der Kommunikationstheorie
Author(s): Jung, Peter
Advisor(s): Boche, Holger
Granting Institution: Technische Universität Berlin, Fakultät IV - Elektrotechnik und Informatik
Type: Doctoral Thesis
Language: English
Language Code: en
Abstract: Die theoretische Beschreibung der Kommunikation in zeitveränderlichen Umgebungen ist von zentraler Bedeutung für die weitere Steigerung der Effizienz und der Datenrate zukünftiger Übertragungstechniken. Besonders in mobilen Szenarien ist die häufig verwendete Annahme quasi--statischer Kanälen nicht mehr akzeptabel und eine genaue Beschreibung der zeitveränderlichen Effekte notwendig. Aber schon das Beispiel von konventionellem Orthogonal Frequency Division Multiplexing mit zyklischem Präfix (cp-OFDM) in zeitkonstanten Umgebungen hat gezeigt, daß eine Diagonalisierung von Kanaloperatoren eine der entscheidenen Voraussetzungen für die Ermöglichung einer informationstheoretischen Beschreibung der Kommunikation und letztendlich auch für deren praktische Umsetzbarkeit in Technologien ist. Eine Erweiterung dieser Vorgehensweise auf zeitveränderliche Kanäle führt aber auf prinzipielle Schwierigkeiten, die mit der Nichtvertauschbarkeit von Zeit-- und Frequenzverschiebungen zusammenhängen. Das bedeutet, daß in der Regel ein Ensemble zeitvarianter Kanaloperatoren nicht mehr gemeinsam diagonalisiert werden kann. Bisherige Konzepte, die in dem idealisierten Fall von zeitkonstanten Kanälen und cp-OFDM noch Anwendung finden, müssen somit erweitert werden. Das gemeinsame Verhalten von Zeit--Frequenz Verschiebungen wird mathematisch durch die Weyl--Heisenberg Gruppe beschrieben und die letztendliche Realisierung basiert auf der sogenannten Schrödinger--Darstellung. Das Werkzeug zur Beschreibung zeitveränderlicher Kanäle sind wiederum Pseudodifferentielle Operatoren, welche sich elegant durch die Verwendung des Weyl-Kalküls beschreiben lassen. Diese Methodik eröffnet automatisch Analogien zur Beschreibung quantenmechanischer Systeme und deren Betrachtung im Phasenraum, welche sich als relevant herausstellten und aus diesem Grund in der Arbeit verwendet wurden. Basierend auf dem Weyl--Kalkül und der Theorie der Weyl--Heisenberg Gruppe und motiviert durch die Ideen von cp-OFDM wird in dieser Arbeit ein verallgemeinertes Übertragungsverfahren für zeitveränderliche Kanäle formuliert und analysiert. Es wird vorgeführt, wie und mit welchem Fehler eine approximative Diagonalisierung ganzer Ensemble solcher Kanäle erreicht werden kann. Desweiteren werden die zentralen Maße herausgearbeitet, welche die letztendliche, mittlere Performanz der Übertragung charakterisieren. Einen entscheidenen Einfluß haben hierbei die verwendeten Sende- und Empfangs-Pulsformen, sowie die angenommenen Gitter-Strukturen in der Zeit--Frequenz Ebene. Es stellte sich heraus, daß die gefundenen Performanzmaße nicht nur für die bisher beschriebene Signalübertragung sondern auch für die Übermittlung klassischer Information über eine zentrale Klasse von Quantenkanälen von Bedeutung sind. Wie bereits erwähnt, wurden diese Zusammenhänge erwartet und deswegen vollständig in die Struktur der Arbeit integriert. Eine einfache Form der Datenübertragung in solchen Quantenkanälen wurde herausgearbeitet, analysiert und in Bezug zur klassischen Kommunikation gesetzt. Es konnte gezeigt werden, daß nun eine gemeinsame Behandlung beider Problemstellungen möglich ist und weiterführende Beschreibungen erlaubt. Dazu wurde das Konzept von Weyl-Heisenberg Abbildungen entwickelt, welche die klassische Kommunikation über eine statistische Gesamtheit von zeitveränderlichen Kanälen sowie den Quanten--Kanal beschreiben. Bisher bekannte Skalierungsregeln konnten auf diese Abbildungen erweitert werden. Es wurden Abschätzungstechniken für die Performanz gefunden und auf beide Fälle angewendet. Letztendlich konnten Algorithmen entwickelt werden, welche eine Optimierung von Pulsformen und reinen Quantenzuständen gleichermaßen zulassen.
The theoretical description of the communication in time-varying environments is of central relevance for further increase of the efficiency and the data rate of future transmission techniques. In particular, the quasi--statistical assumption widely used for mobile wireless communication channels is not anymore acceptable and a detailed description of the effects due to the time--varying nature is required. But already the example of ''cyclic prefix based'' Orthogonal Frequency Division Multiplexing (cp-OFDM) in time-invariant channels has shown that a diagonalization of the channel operators is an essential prerequisite to allowing an information-theoretical treatment of communication and reveals finally as the reason for the practical implementation as technology. However, an extension of this principle to time-varying channels has fundamental limits caused by the non-commutativity of time and frequency shifts. Due to this property it is in general not possible to diagonalize ensembles of time-varying channel operators jointly. Conventional approaches which can be used for the idealized scenario of time-invariant channels and cp-OFDM does not apply anymore and therefore have to be extended. The joint behavior of time-frequency shifts is described on the theoretical level by the Weyl-Heisenberg group. Its realization as operators acting on a certain Hilbert space is known as the Schrödinger representation. The mathematical tool for the description of time--varying channels in turn are pseudo-differential operators which can be elegantly formulated with means of the so called Weyl calculus. This approach opens up analogies to the description of quantum mechanical systems and their phase space formulations. This link turned out to be an important relation and has therefore been integrated in this work. Based on the Weyl calculus and the theory of the Weyl-Heisenberg group and motivated by the ideas of cp-OFDM a generalized transmission scheme for time-varying channels has been proposed and analyzed. It has been shown how an approximate diagonalization for whole ensembles of time-varying channels can be achieved and which remaining approximation error has to be expected. Furthermore, the relevant measures are derived which characterize the mean performance of such transmission techniques. The pulse shapes used at the transmitter and at the receiver and the lattice structures in the time-frequency plane will play an important role in this framework. It turns out that these measures describe the performance of the transmission of classical information through a particular important class of quantum channels as well. As already mentioned these relations have been expected and therefore completely integrated in this work. A simple transmission scenario has been proposed and related to its classical counterpart. It could be shown that now a joint description of both problems is possible and that this approach leads to further results and interpretations. For this purpose the concept of Weyl-Heisenberg maps has been developed which describes the classical communication over a statistical ensembles of time-varying channels and a quantum channel. Scalings rules known so far in this area could be extended on these maps. Bounding techniques have been setup and applied to both problems. Finally algorithms have been developed which allow optimizing pulse shapes and pure quantum states.
URI: urn:nbn:de:kobv:83-opus-16196
http://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/1948
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-1651
Exam Date: 3-Jul-2007
Issue Date: 25-Jul-2007
Date Available: 3-Jul-2007
DDC Class: 500 Naturwissenschaften und Mathematik
Subject(s): Mehrträgersysteme
Pulsoptimierung
Quantenkommunikation
Weyl-Heisenberg Gruppe
Zeitvariante Kanäle
Multicarrier systems
Pulse shaping
Quantum communication
Time-varying channel
Weyl-Heisenberg group
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