Please use this identifier to cite or link to this item: http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-1742
Main Title: Time Evolution of Quantum Resonance States
Translated Title: Zeitliches Abfallverhalten von Resonanzzuständen in der Quantenmechanik
Author(s): Rama, Juliane
Advisor(s): Wüst, Rainer
Granting Institution: Technische Universität Berlin, Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften
Type: Doctoral Thesis
Language: English
Language Code: en
Abstract: Part 1 -- zeitabhängiger Zugang (formuliert in einem abstrakten Hilbertraum-Setting mit Hilfe eines Operatorkalküls motiviert durch Mourre-Abschätzungen): Sei $H_0$ ein selbstadjungierter (ungestörter) Hamiltonoperator in einem komplexen Hilbertraum $\langle\mathcal{H},\|\cdot\|\rangle$. Sei $\lambda_0$ ein Eigenwert beliebiger Vielfachheit von $H_0$, eingebettet in sein stetiges Spektrum $\sigma_c(H_0)$ mit (normierter) Eigenfunktion $\psi_0$: $H_0\psi_0=\lambda_0\psi_0$. Sei $\Pi_0$ Orthogonalprojektor auf $\textrm{Ker}(H_0-\lambda_0)$, $\textrm{dim\,Ran}\Pi_0\leq\infty$ und $\overline{\Pi_0}:=1-\Pi_0$. Für eine abstrakte Klasse von symmetrischen Störungen $\{W\}$ und $H:=H_0+W$ wird die Asymptotik des (naiven) Resonanzzustands $e^{-itH}\psi_0$ im limes $W\to 0$ entwickelt. Es wird gezeigt, daß $e^{-itH}\psi_0$ das typische Verhalten eines Resonanzzustands zeigt: Bis zur Größenordnung der zu erwartenden Lebensdauer des Zustands (gegeben durch Fermis Goldene Regel) zeigt $\|\Pi_0 e^{-itH}\psi_0\|$ im wesentlichen exponentielles Verhalten. Für große Zeiten hingegen kann $e^{-itH}\psi_0$ vollständig in das Spektralkomplement $\textrm{Ran}\,\overline{\Pi_0}$ tunneln, wo der Zustand in einem schwachen Sinn auslaufend ("outgoing") ist: $e^{-itH}\psi_0$ gehört zu großen Spektralwerten eines (geeigneten) Operators $A$ konjugiert zu $H$. Part 2 -- stationärer Zugang: Bezeichne $H(\kappa)=H_0+\kappa\,V$ $(\kappa\geq0\textrm{ klein genug})$ eine Familie selbstadjungierter Operatoren (im Hilbertraum) eines abstrakt-dilatationsanalytischen Systems. Die Familie $H(\kappa)$ sei außerdem analytisch im verallgemeinerten Sinn in der Variablen $\kappa$ für $\kappa$ in einer komplexen Nullumgebung. Sei $\lambda_0$ ein eingebetteter Eigenwert endlicher Vielfachheit von $H_0$. Bezeichne $\Pi_0$ den zugehörigen Eigenprojektor, $\textrm{dim\,Ran}\Pi_0<\infty$. Für den speziellen Fall $\textrm{dim\,Ran}\Pi_0=2$ wird die Asymptotik von $\|\Pi_0e^{-itH(\kappa)}\Pi_0\|$ im limes $\kappa\to 0$ analysiert. Einige der Resultate bleiben auch im Falle beliebiger Dimension $\textrm{dim\,Ran}\Pi_0<\infty$ bestehen. Dimensionsunabhängig gilt auf $\textrm{Ran}\Pi_0$ die Operatorrelation $\Pi_0e^{-itH(\kappa)}\Pi_0=e^{-ith(\kappa)}+Rest(\kappa,t)$ $(\kappa\geq0\textrm{ klein genug, }t\geq0)$. Dabei ist $h(\kappa)$ eine analytische Familie nicht selbstadjungierter Endomorphismen auf $\textrm{Ran}\Pi_0$. Eigenwerte von $h(\kappa)$ sind nach Konstruktion komplex und stimmen mit den Resonanzeigenwerte, die unter Störung aus $\lambda_0$ hervorgehen, überein. Für $\textrm{dim\,Ran}\Pi_0=2$ zeigt $\|\Pi_0e^{-itH(\kappa)}\Pi_0\|$ grob exponentielles Abfallverhalten (bis auf einen zeitabhängigen Restterm). Dieses exponentielle Verhalten ist bestimmt durch einen Faktor $e^{-\kappa^2\gamma t}$, wobei $\gamma$ eine echt positive Konstante darstellt, die durch die Imaginärteile der Resonanzeigenwerte bestimmt wird. Der zeitabhängige Restterm wird für Zeiten $0\leq t=O((-\ln\kappa)\kappa^{-2})$ $(\kappa\to0)$ durch den exponentiellen Anteil dominiert. Dies ist eine logarithmische Verbesserung der Zeitkontrolle (über die erwartete mittlere Lebensdauer $\sim\kappa^{-2}$ hinaus), verglichen mit den Ergebnissen aus Part 1. Der Fall bliebiger Dimension $\textrm{dim\,Ran}\Pi_0=N<\infty$ ist ein kombinatorisches Problem (in Bearbeitung).
Part 1 -- a time-dependent approach (formulated in an abstract Hilbert space setting with the help of an operator calculus due to Mourre estimates): We assume $H_0$ to be self-adjoint in a complex Hilbert space $\langle\mathcal{H},\|\cdot\|\rangle$ with $\lambda_0$ a degenerate eigenvalue of arbitrary multiplicity embedded in the continuous spectrum $\sigma_c(H_0)$ and $\psi_0$ the corresponding normalized eigenfunction $\psi_0$, $H_0\psi_0=\lambda_0\psi_0$. Let $\Pi_0$ denote the eigenprojection corresponding to $\lambda_0$, $\textrm{dim\,Ran}\Pi_0\leq\infty$. Define $\overline{\Pi_0}:=1-\Pi_0$. For a certain class of symmetric perturbations $\{W\}$ and $H=H_0+W$ we investigate the asymptotics of the "naive" resonance state $ e^{-itH}\psi_0$ in the limit $W\to 0$. We prove that $e^{-itH}\psi_0$ shows the typical behavior of a resonance state: Up to the order of the expected lifetime (given by the Fermi golden rule) $\|\Pi_0e^{-itH}\psi_0\|$ decays roughly exponentially. For large times, however, $e^{-itH}\psi_0$ may tunnel completely to the spectral complement $\textrm{Ran}\overline{\Pi_0}$. But there it is outgoing in some weak sense. This can be defined to mean that $e^{-itH} \psi_0$ belongs to a subspace of large spectral values for an operator $A$ conjugate to $H$. We give a direct dynamical interpretation of such resonance states independent of the degeneracy of the embedded eigenvalue $\lambda_0$. In Part 2 - a stationary approach: We consider dilation analytic perturbations $V$ and Hamiltonians $H(\kappa)=H_0+\kappa\,V$ self-adjoint in a complex Hilbert space for $\kappa\geq0$ small enough, $H(\kappa)$ being analytic in the generalized sense in the variable $\kappa$ in some complex neighborhood of $\kappa=0$. We analyze the asymptotics of $\Pi_0e^{-itH(\kappa)}\Pi_0$ in the limit $\kappa\to0$ for the special case {$\textrm{dim\,Ran}\Pi_0=\nolinebreak 2$}. Some of our results also persist in case of arbitrary $\textrm{dim\,Ran}\Pi_0<\nolinebreak\infty$. The general case of arbitrary $\textrm{dim\,Ran}\Pi_0<\nolinebreak\infty$ is a combinatorial problem which is still in preparation. Independent of $\textrm{dim\,Ran}\Pi_0$ we get the following operator relation on $\textrm{Ran}\Pi_0$: $\Pi_0e^{-itH(\kappa)}\Pi_0=e^{-ith(\kappa)}+\textrm{remainder}(\kappa,t)$ $(\kappa\geq0\textrm{ small, }t\geq0)$, where $h(\kappa)$ is some (not self-adjoint) analytic matrix family. For $\textrm{dim\,Ran}\Pi_0=2$ it turns out that $\|\Pi_0e^{-itH(\kappa)}\Pi_0\|$ decays roughly exponentially (up to a time-dependent remainder), driven by a term $e^{-\kappa^2\gamma t}$, where $\gamma$ is some strictly positive constant determined by the imaginary parts of the resonance eigenvalues. By construction the resonance eigenvalues coincide with the eigenvalues of $h(\kappa)$. The key tool to obtain these results is a Jordan decomposition of the analytic matrix family $h(\kappa)$. According to Rayleigh-Schrödinger perturbation theory the expected lifetime is of order $O(\kappa^{-2})$ as $\kappa\to0$. For times $0\leq t=O((-\ln\kappa)\kappa^{-2})$ $(\kappa\to0)$ the time-dependent remainder is dominated by the exponential term. This is a logarithmic improvement of time control with regard to the results of Part 1.
URI: urn:nbn:de:kobv:83-opus-17160
http://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/2039
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-1742
Exam Date: 27-Nov-2007
Issue Date: 4-Jan-2008
Date Available: 4-Jan-2008
DDC Class: 510 Mathematik
Subject(s): Dilatationsanalytisch
Eingebetteter Eigenwert
Fermis goldene Regel
Resonanzen
Resonanzzustaende
Dilation analytic
Embedded eigenvalue
Fermi golden rule
Resonance states
Resonances
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