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Main Title: Trade execution in illiquid markets: Optimal stochastic control and multi-agent equilibria
Translated Title: Handelsausführung in illiquiden Märkten: Optimale stochastische Kontrolle und Mehrspieler-Gleichgewichte
Author(s): Schöneborn, Torsten
Advisor(s): Schied, Alexander
Granting Institution: Technische Universität Berlin, Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften
Type: Doctoral Thesis
Language: English
Language Code: en
Abstract: In den Modellen der klassischen Finanzmathematik wird angenommen, dass man beliebige Mengen von Gütern zum aktuellen Marktpreis handeln kann, ohne dadurch diesen Preis zu beeinflussen. Dies entspricht für große Transaktionen nicht der Realität: Zum einen muss für den Kauf oder Verkauf großer Positionen eine Preisprämie gezahlt werden, zum anderen haben große Transaktionen einen nachhaltigen Effekt auf zukünftige Preise. Ziel dieser Dissertation ist es, optimale Handelsstrategien in einem solchen "illiquiden Markt" zu finden. In einem ersten Teil analysieren wir die Situation eines einzelnen Händlers, der ein Portfolio verkaufen möchte. Dieser steht vor einem Dilemma: Auf der einen Seite übt er durch schnelles Handeln einen starken negativen Einfluss auf den Marktpreis aus und reduziert dadurch seinen Handelserlös. Auf der anderen Seite geht er bei langsamem Handeln ein hohes Risiko ein, da der Marktpreis im Laufe der Handelsabwicklung aufgrund von exogenen Ereignissen einbrechen kann. Im ersten Teil dieser Dissertation bestimmen wir den optimalen Mittelweg in diesem Dilemma. Dabei benutzen wir verschiedene Modellierungsansätze mit einem besonderen Fokus auf die Maximierung des erwarteten Nutzens. Die Hamilton-Jacobi-Bellman-Gleichung für dieses Problem ist eine vollständig nicht-lineare, degenerierte partielle Differentialgleichung. Um diese zu lösen, verfolgen wir den ungewöhnlichen Ansatz, zuerst die optimale Kontrolle als Lösung einer partiellen Differentialgleichung herzuleiten und danach mit Hilfe der optimalen Kontrolle eine Lösung der Hamilton-Jacobi-Bellman-Gleichung zu konstruieren. Für den Verkauf eines Portfolios aus mehreren verschiedenen Aktien können wir mittels dieses Ansatzes die hochdimensionale Hamilton-Jacobi-Bellman-Gleichung auf ein zweidimensionales Problem zurückführen, falls der Markt "homogen" in einem bestimmten Sinne ist. Im zweiten Teil dieser Arbeit betrachten wir mehrere Marktteilnehmer, welche dasselbe Gut in einem illiquiden Markt handeln. Jeder Teilnehmer handelt zum Marktpreis, welcher von den Transaktionen aller Teilnehmer gleichermaßen beeinflusst wird. Dadurch ergibt sich eine Interaktion zwischen den Marktteilnehmern. Wir untersuchen insbesondere die Situation eines Händlers, der innerhalb eines kurzen Zeithorizonts eine Aktienposition liquidieren muss, während andere Marktteilnehmer von seinen Handelsplänen wissen. In einem ersten Marktmodell können wir die optimalen Handelsstrategien aller Agenten in einer komplexen geschlossenen Form herleiten. Wir beleuchten die Interaktionen zwischen den Marktteilnehmern anhand von Beispielfällen und Grenzwerten und finden Erklärungen für die Koexistenz von kooperativen und kompetitiven Verhaltensweisen. Für ein zweites Marktmodell zeigen wir induktiv, dass die Wertfunktion für alle Marktteilnehmer eine spezielle polynomiale Form hat. Dadurch erhalten wir die optimalen Handelsstrategien als lineare Funktionen mit Koeffizienten, welche durch eine explizite Rückwärtsrekursion berechnet werden können. In diesem zweiten Marktmodell ist eine schnelle Abfolge von Käufen und Verkäufen optimal; durch das Betrachten verschiedener Grenzwerte bringen wir dieses Verhalten mit den Kosten von Round-Trip-Transaktionen in Verbindung.
In the classical models of financial mathematics, it is assumed that arbitrarily large positions of assets can be traded at the current market price without affecting this price. This does not reflect reality for large transactions: First, a price premium must be paid for large positions. Second, large transactions do have a long-lasting effect on future prices. The purpose of this dissertation is to find optimal execution strategies in such an “illiquid market”. In a first part, we analyze the situation of a single trader, who wants to liquidate a portfolio. The trader is facing a dilemma: on the one hand, a quick liquidation results in a strong adverse influence on the market price and thus reduces the liquidation proceeds. On the other hand, a slow execution results in a large risk, since the market price can move significantly during the liquidation time period due to exogenous events. In the first part of the dissertation, we determine the optimal trade-off in this dilemma. We use different modeling approaches with a special focus on utility maximization. The Hamilton-Jacobi-Bellman equation for this problem is a completely non-linear, degenerate partial differential equation. To solve it, we pursue the unusual approach of first obtaining the optimal control as a solution of a partial differential equation and subsequently constructing a solution to the Hamilton-Jacobi-Bellman equation by using the optimal control. For the liquidation of a portfolio consisting of several assets our approach allows us to reduce the high-dimensional Hamilton-Jacobi-Bellman equation to a two-dimensional problem if the market is “homogeneous” in a certain sense. In the second part of this dissertation, we consider several market participants, who trade the same asset in an illiquid market. Every participant trades at the market price, which is influenced by the transactions of all participants in the same fashion. This leads to an interaction of the market participants. We investigate in particular the situation of a trader who needs to liquidate an asset position in a short time while other market participants are aware of her trading intentions. In a first market model, we can derive the optimal strategies for all agents in a complex closed form. We analyze the interaction of the market participants by reviewing examples and limit cases and find an explanation for the coexistence of cooperative and competitive behavior. For a second market model we show inductively that the value function for all market participants is of a special polynomial form. We thus obtain the optimal trading strategies as linear functions with coefficients which can be calculated by an explicit backward recursion. In this second market model, a quick sequence of buy and sell orders is optimal; by considering different limit cases, we discover that this phenomenon is related to the costs of round trip transactions.
URI: urn:nbn:de:kobv:83-opus-18679
http://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/2167
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-1870
Exam Date: 13-May-2008
Issue Date: 26-May-2008
Date Available: 26-May-2008
DDC Class: 510 Mathematik
Subject(s): Finanzmathematik
Liquidität
Optimale stochastische Kontrolle
Spieltheorie
Game theory
Liquidity
Mathematical finance
Optimal stochastic control
Usage rights: Terms of German Copyright Law
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