Please use this identifier to cite or link to this item: http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-1953
Main Title: Sums of correlated exponentials: two types of Gaussian correlation structures
Translated Title: Summen der korrelierten Exponentiale: zwei Typen der Gauß'schen Korrelationsstrukturen
Author(s): Klymovskiy, Anton (Klimovsky, Anton)
Advisor(s): Bovier, Anton
Granting Institution: Technische Universität Berlin, Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften
Type: Doctoral Thesis
Language: English
Language Code: en
Abstract: Diese Dissertation behandelt das Grenzwertverhalten der großen Summen der stark korrelierten Exponenziale, während die Anzahl ihren Summanden und die effektive Dimension der Korrelationsstruktur gleichzeitig gegen Unendlichkeit gehen. Wir betrachten zwei Arten dieser Summen, die durch die a priori sehr unterschiedliche Gauß'schen Korrelationsstrukturen erzeugt werden. Die erste Art ist eine Summe der hierarchisch korrelierten Zufallsvariablen, die auf der Zustandssumme von Derrida's generalised random energy model (GREM) mit externem Feld basiert. Die zweite Art ist eine infinitesimale Summe der echt nicht-hierarchisch stark korrelierten Zufallsvariablen, die auf der Zustandssumme vom Sherrington-Kirkpatrick (SK) Modell mit mehrdimensionalen Spins basiert. Wir betrachten das asymptotische Verhalten (der thermodynamische Limes) dieser Summen auf der logarithmischen Skala (d.h., auf dem Niveau der freien Energie) und außerdem auf dem präziseren Niveau ihrer Fluktuationen (d.h., auf dem Niveau der schwachen Grenzwertverteilungen). Interessanterweise finden wir auch im SK Modell mit mehrdimensionalen Spins Spuren der hierarchischen Organisation im thermodynamischen Limes. Dies unterstützt das hypothetische universale Verhalten dieser Summen aus der theoretischen Physik. Bezüglich des SK Modells mit mehrdimensionalen Spins erzielen wir die folgenden Ergebnisse. Wir beweisen die oberen und unteren Schranken für die freie Energie mittels Variationsungleichungen, die auf der mehrdimensionalen Verallgemeinerung des Parisi-Funktionals basieren. Wir setzen das Vergleichsschema von Aizenman, Sims und Starr und das von Guerra ein, die die GREM-inspirierten Prozesse und Ruell'schen Wahrscheinlichkeitskaskaden involvieren. Hierfür beweisen wir ein abstraktes “quenched” Prinzip der großen Abweichungen von Gärtner-Ellis Art. Mittels der Eigenschaften der Ruelle'schen Wahrscheinlichkeitskaskaden und des Bolthausen-Sznitman Koaleszents leiten wir die Darstellung von Talagrand des Restterms von Guerra für das SK Modell mit mehrdimensionalen Spins ab. Wir untersuchen die Eigenschaften des mehrdimensionalen Parisi-Funktionals, indem wir eine Verbindung mit einer Kategorie semi-linearer partieller Differentialgleichungen herstellen. Wir betten das Problem der strengen Konvexität des Parisi-Funktionals in einen allgemeineren Kontext ein. Wir zeigen die Konvexität in einigen Fällen, welche jedoch nicht die ursprüngliche Formulierung von Talagrand umfassen. Schließlich beweisen wir die Parisi-Formel für die lokale freie Energie im Fall der mehrdimensionalen Gauß'schen a priori Verteilung der Spins mit der Methodologie der a priori Abschätzungen von Talagrand. Bezüglich des GREMs in Anwesenheit des uniformen externen Felds erzielen wir die folgenden Ergebnisse. Wir berechnen die Fluktuationen des Grundzustandes und der Zustandssumme im thermodynamischen Limes für alle zulässigen Werte der Parameter. Wir finden, dass im thermodynamischen Limes die Fluktuationen durch eine hierarchische Struktur beschrieben sind. Diese Struktur ist eine Grobkörnung der ursprünglichen hierarchischen Struktur des GREMs mit externem Feld. Wir stellen eine explizite Formel für die freie Energie des Modells zur Verfügung. Wir leiten auch einige Resultate zu den großen Abweichungen, welche einen Ausdruck für die freie Energie einiger Modelle mit Gauß'schen Hamiltonians und externem Feld ermöglichen, her. Schließlich beweisen wir, dass die grobkörnigen Teile des Systems, die in der thermodynamischen Limes auftauchen, dazu neigen eine optimale Magnetisierung zu haben. Diese Magnetisierung ist durch die Stärke des externen Felds und durch die Parameter des GREMs vorgeschrieben.
In this thesis, we study the limiting behaviour of the large sums of strongly correlated exponentials as the number of their summands and the effective dimension of the correlation structure simultaneously tend to infinity. We consider two types of such sums which are generated by two a priori very different Gaussian correlation structures. The first type is a sum of hierarchically correlated random variables which is based on the partition function of Derrida's generalised random energy model (GREM) with external field. The second type is an infinitesimal sum of genuinely non-hierarchically strongly correlated random variables which is based on the partition function of the Sherrington-Kirkpatrick (SK) model with multidimensional spins. We consider the asymptotic behaviour (the thermodynamic limit) of these two sums on a logarithmic scale (i.e., at the level of free energy) and also at a more refined level of their fluctuations (i.e., at the level of weak limiting laws). Interestingly for the SK model with multidimensional spins, we find traces of a hierarchical organisation in the thermodynamic limit. This supports the conjectured in theoretical physics universal behaviour of the sums of such sort. Concerning the SK model with multidimensional spins, we obtain the following results. We prove upper and lower bounds on the free energy of this model in terms of variational inequalities. The bounds are based on a multidimensional extension of the Parisi functional. We generalise and unify the comparison scheme of Aizenman, Sims and Starr and the one of Guerra involving the GREM-inspired processes and Ruelle's probability cascades. For this purpose, an abstract quenched large deviations principle of the Gärtner-Ellis type is obtained. We derive Talagrand's representation of Guerra's remainder term for the SK model with multidimensional spins. The derivation is based on well-known properties of Ruelle's probability cascades and the Bolthausen-Sznitman coalescent. We study the properties of the multidimensional Parisi functional by establishing a link with a certain class of semi-linear partial differential equations. We embed the problem of strict convexity of the Parisi functional in a more general setting and prove the convexity in some particular cases which, however, do not cover the original setup of Talagrand. Finally, we prove the Parisi formula for the local free energy in the case of multidimensional Gaussian a priori distribution of spins using Talagrand's methodology of a priori estimates. Concerning the GREM in the presence of uniform external field, we obtain the following results. We compute the fluctuations of the ground state and of the partition function in the thermodynamic limit for all admissible values of parameters. We find that the fluctuations are described by a hierarchical structure which is obtained by a certain coarse-graining of the initial hierarchical structure of the GREM with external field. We provide an explicit formula for the free energy of the model. We also derive some large deviation results providing an expression for the free energy in a class of models with Gaussian Hamiltonians and external field. Finally, we prove that the coarse-grained parts of the system emerging in the thermodynamic limit tend to have a certain optimal magnetisation, as prescribed by strength of external field and by parameters of the GREM.
URI: urn:nbn:de:kobv:83-opus-19180
http://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/2250
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-1953
Exam Date: 24-Jun-2008
Issue Date: 28-Aug-2008
Date Available: 28-Aug-2008
DDC Class: 510 Mathematik
Subject(s): Extremwerttheorie
Große Abweichungen
Interagierende zufällige Prozesse
Schwache Grenzwertsätze
Ungeordnete Systeme
Disordered systems
Extreme value theory
Interacting random processes
Large deviations
Weak limit theorems
Usage rights: Terms of German Copyright Law
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