Please use this identifier to cite or link to this item: http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-1991
Main Title: Constructions and obstructions for extremal polytopes
Translated Title: Konstruktionen und Obstruktionen für extremale Polytope
Author(s): Sanyal, Raman
Advisor(s): Ziegler, Günter M.
Granting Institution: Technische Universität Berlin, Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften
Type: Doctoral Thesis
Language: English
Language Code: en
Abstract: Der erste Teil dieser Arbeit widmet sich Projektionen von Polytopen als Konstruktionsmethode kombinatorisch extremaler Polytope. Der Ausgangspunkt ist eine gemeinsame Arbeit mit Günter Ziegler (2007). In dieser konstruieren wir niederdimensionale Polytope, die das k-Skelett eines Produkts von geraden Polygonen haben. Ein "gerades Polygon" bezeichnet ein Polygon mit einer geraden Anzahl Ecken. Die zugrunde liegende Idee ist relativ simpel: Wir finden eine Realisierung eines solchen Produkts, so dass eine Projektion in den d-dimensionalen Raum das k-Skelett erhält. Eine Eigentümlichkeit dieser Konstruktion ist es, dass wir im Falle von Produkten von ungeraden Polygonen keine passende Realisierung finden können. In dieser Arbeit finden wir eine Erklärung für dieses Phänomen. Wir entwickeln eine allgemeine Theorie, die Antworten auf die folgende Frage geben können. Für einen gegeben kombinatorischen Typ eines d-dimensionalen Polytops, was sind notwendige Bedingungen an die Dimension eines Raums so dass es eine Realisierung eines Polytops mit diesem kombinatorischen Typ gibt und eine lineare Abbildung in diesen Raum, so dass das k-Skelett bei Projektion erhalten bleibt. Der in diesem Zusammenhang entscheidende Begriff ist der einer strikt erhaltenen Seite unter Projektion. Diese Klasse von Seitenflächen hat eine algebraische Charakterisierung die im Falle von vollständig erhaltenen Skeletten die Existenz einer polytopalen Sphäre impliziert. Die Dimension dieser Sphäre ist nur abhängig von elementaren Eigenschaften des kombinatorischen Typs und der Dimension des Raums in den projiziert werden soll. Jede strikt erhaltene Seitenfläche beschreibt eine Seitenfläche der polytopalen Sphäre und die Menge aller strikt erhaltenen Seitenflächen führt zu einer abgeschlossenen Teilmenge dieser Sphäre. Fordert man nun, dass z.B. das k-Skelett unter Projektion strikt erhalten bleiben soll, dann lässt sich ein topologischer Raum beschreiben, der in eine Sphäre einer bestimmten Dimension eingebettet ist. Existieren nun topologische Hindernisse, die eine Einbettung verhindern, so hat man bewiesen, dass es eine Realisierung eines solchen Polytops mit den gewünschten Eigenschaften unter Projektion nicht gibt. Neben der Anwendung dieser Theorie auf die Frage nach Projektionen von Produkten ungerader Polygone beschreiben wir noch zwei weitere. Wir beweisen obere Schranken an die Anzahl Ecken von Minkowski Summen. Die Tatsache, dass jede Minkowski Summe das Bild des Produkts unter einer bestimmten Projektion ist, ermöglicht die Anwendung der oben skizzierten Techniken. Die andere Anwendung bezieht sich auf eine offene Frage von Rörig und Ziegler (2008). In ihrer Arbeit konstruieren die beiden Autoren spezielle polyedrische Flächen und geben für einige von ihnen eine geometrische Realisierung im dreidimensionalen Raum an. Die Art und Weise der Konstruktion dieser Realisierungen basiert auf einer Modifikation der Ideen aus der erwähnten Arbeit mit Günter Ziegler (2007). Die kombinatorischen Flächen werden im 2-Skelett spezieller wedge products gefunden. Es werden auch spezielle Realisierungen dieser wedge products angegeben für die sich nachprüfen lässt, dass eine Projektion in den dreidimensionalen Raum die eingebetteten Flächen erhält. Wir geben eine andere Sichtweise auf wedge products die eine Verwandtschaft zu den gewöhnlichen Produkten besser herausstellt. Diese Verwandtschaft wird dann genutzt um zu zeigen, dass bis auf eine Familie von Flächen keine weiteren der in Rörig und Ziegler beschriebenen Flächen durch solche Projektionen realisiert werden können. Dieser Teil der Arbeit basiert auf dem Aufsatz "Topological obstructions for vertex numbers of Minkowski sums," der als Vorabdruck verfügbar ist und auf einer Zusammenarbeit mit Thilo Rörig. Im zweiten Teil dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit drei Vermutungen von Gil Kalai (1989) zu der Kombinatorik zentralsymmetrischer Polytope. Die schwächste Vermutung, die 3-hoch-d Vermutung, besagt, dass ein zentralsymmetrisches d-dimensionales Polytop mindestens 3^d nicht-leere Seitenflächen hat. Obwohl Experimentieren diese Vermutung sehr plausibel erscheinen lässt, gab es doch in den letzten 18 Jahren keinen Fortschritt. Wir beweisen diese Vermutung für alle zentralsymmetrischen Polytope der Dimension kleiner gleich vier. Das Hauptargument unseres Beweises nutzt einen von Kalai (1987) entdeckten Zusammenhang zwischen einer bestimmten kombinatorischen Größe und der Statik von Gerüsten. Des Weiteren konstruieren wir Beispiele, die zeigen das die beiden anderen Vermutungen im Allgemeinen falsch sind. Insbesondere schließen wir diese Arbeit mit zwei Beispielen aus einer Familie, die vielleicht den Weg zu einem Gegenbeispiel für die 3-hoch-d Vermutung in höheren Dimensionen aufzeigt. Dieser Teil der Arbeit basiert auf einem gemeinsamen Aufsatz mit Axel Werner und Günter Ziegler.
In the first part of this thesis we investigate projections of polytopes as a method for constructing combinatorially extremal polytopes. The starting point is a joint work with Guenter Ziegler (2007). In this paper we construct low dimensional polytopes that have the k-skeleton of a product of even polygons. An "even polygon" is a polygon with an even number of vertices. The underlying idea is simple: We find a realization of such a product whose projection to d-space retains the k-skeleton. The peculiarity of this construction is that we were unable to find suitable realizations for products of odd polygons. In this work we give an explanation for this phenomenon. We develop a theory that can give an answer to the following question. For a given combinatorial type of a d-dimensional polytope, what are the necessary conditions on the dimension e of a space such that there is a realization of that combinatorial type and a linear projection to e-space such that the k-skeleton is retained under projection. The key concept here is that of a strictly preserved face. This class of faces has an algebraic characterization that, in the case of strictly preserved skeleta, implies the existence of a polytopal sphere. The dimension of this sphere depends only on elementary properties of the combinatorial type and the dimension of the target space. Every strictly preserved face describes a face of the sphere and the set of all strictly preserved faces yields a closed subcomplex of the sphere. If one requires the strict preservation of, say, the k-skeleton, then it is possible to describe a topological space that is embedded in the mentioned sphere. Now, showing that there are topological obstructions to the embeddability implies that a realization of the combinatorial type with the prescribed properties does not exist. We give two more applications of the theory. We prove an upper bound on the number of vertices of Minkowski sums. The fact that every Minkowski sum is the image of a product under a special projection enables us to use the tools sketched above. The other application answers an open question of Roerig & Ziegler (2008). In their paper the authors construct special polyhedral surfaces and give a geometric realization in 3-space for some of them. The technique for realizing the surface is a modification of ideas from the joint paper with Guenter Ziegler (2007). The combinatorial surface is described as a subcomplex of the 2-skeleton of a certain wedge product. Furthermore, a special realization of this wedge product is constructed for which it is verified that that a projection to 3-space strictly preserves the surface. We give a description of wedge products from a different point of view, emphasizing the relation to products. We use this relation to show that all but a single family of the surfaces cannot be realized in 3-space by projection. This part of the thesis is based on the preprint "Topological obstructions for vertex numbers of Minkowski sums" and on a joint work with Thilo Roerig. In the second part we investigate three conjectures of Gil Kalai (1989) concerning the combinatorics of centrally symmetric polytopes. The weakest of the three conjectures, the 3^d conjecture states that every d-dimensional centrally symmetric polytope has at least 3^d nonempty faces. Although experimentation shows that this is very plausible, there had been no progress on the conjecture in the last 18 years. We prove the conjecture for all centrally symmetric polytopes of dimension at most 4. The main argument in the proof uses a connection between certain combinatorial quantities and the statics of frameworks, discovered by Kalai (1987). Furthermore, we construct counterexamples for the other two conjectures. We close with two additional examples from a family of centrally symmetric polytopes that might pave the way for counterexamples to the 3^d conjecture. This part is based on a joint paper with Axel Werner and Guenter Ziegler.
URI: urn:nbn:de:kobv:83-opus-20379
http://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/2288
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-1991
Exam Date: 2-Jul-2008
Issue Date: 2-Oct-2008
Date Available: 2-Oct-2008
DDC Class: 510 Mathematik
Subject(s): Kalai Vermutungen
Polytope
Projektionen
Topologische Obstruktionen
Zentralsymmetrische Polytope
Centrally symmetric polytopes
Kalai conjectures
Polytopes
Projections
Topological Obstructions
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