Please use this identifier to cite or link to this item: http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-1999
Main Title: Analysis and Numerical Solution of Structured and Switched Differential-Algebraic Systems
Translated Title: Analyse und numerische Lösung von strukturierten und schaltenden differentiell-algebraischen Gleichungen
Author(s): Wunderlich, Lena
Advisor(s): Mehrmann, Volker
Granting Institution: Technische Universität Berlin, Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften
Type: Doctoral Thesis
Language: English
Language Code: en
Abstract: Die numerische Simulation von komplexen dynamischen Systemen spielt heutzutage eine wichtige Rolle in technischen Anwendungen. Typischerweise werden die dynamischen Systeme durch differentiell-algebraische Gleichungen (DAEs) beschrieben, d.h. durch Differentialgleichungen, die das dynamische Verhalten eines Systems beschreiben und durch algebraische Zwangsbedingungen, die diese Dynamik auf eine bestimmte Mannigfaltigkeit zwingen. Neben den bekannten Schwierigkeiten in der numerischen Lösung von DAEs, wie die Ordnungsreduktion von numerischen Verfahren, Instabilitäten oder das Abdriften der numerischen Lösung von der Lösungsmannigfaltigkeit, können komplexe Systeme zusätzlich differentiell-algebraische Gleichungen höherer Ordnung enthalten oder das System schaltet aufgrund von bestimmten Schaltbedingungen zwischen verschiedenen Systemkonfigurationen oder Modi. Des weiteren können die Koeffizientenmatrizen der DAE bestimmte Strukturen aufweisen. Daher wird in dieser Arbeit die analytische sowie die numerische Lösung von strukturierten und geschalteten differentiell-algebraischen Gleichungen untersucht. Im wesentlichen werden drei Schwerpunkte behandelt. Zunächst werden differentiell-algebraische Systeme zweiter Ordnung betrachtet. Die klassische Ordnungsreduktion kann bei der Anwendung auf differentiell-algebraische Gleichungen zu Problemen führen, wie zu einer Erhöhung des Index oder zum Verlust der Lösbarkeit. Aufgrund dessen wird ein Indexreduktionsverfahren für DAE Systeme zweiter Ordnung entwickelt, das die Konstruktion eines äquivalenten differentiell-algebraischen Systems bestehend aus entkoppelten Differentialgleichungen sowie davon unabhängigen algebraischen Gleichungen ermöglicht. Weiter erlaubt das Verfahren die Transformation in ein reduziertes System erster Ordnung von niedrigem Index sowie eine explizite Darstellung der Lösung im Fall von Zeit-invarianten linearen Systemen. Der zweite Teil der Arbeit befasst sich mit strukturierten differentiell-algebraischen Systemen. Da die Strukturen in den Koeffizienten die physikalischen Eigenschaften des Systems widerspiegeln, sollten diese Strukturen während der numerischen Lösung erhalten bleiben. In der vorliegenden Arbeit werden lineare DAEs mit symmetrischen und selbstadjungierten Koeffizientenmatrizen untersucht und strukturerhaltende Normalformen entwickelt. Es stellt sich heraus, dass eine strukturerhaltende strangeness-freie Formulierung sowohl für symmetrische als auch für selbstadjungierte Systeme nur für Systeme mit Strangeness Index kleiner oder gleich 1 existiert. Für symmetrische Systeme benötigt man außerdem weitere starke Voraussetzungen an die Koeffiezientenmatrizen, um die Struktur erhalten zu können. Des weiteren wird ein strukturerhaltendes Indexreduktionsverfahren für selbstadjungierte lineare DAEs entwickelt, basierend auf minimaler Erweiterung des Originalsystems, welches eine strukturerhaltende numerische Behandlung erlaubt. Der dritte Teil der Arbeit beschäftigt sich mit geschalteten oder so genannten hybriden differentiell-algebraischen Systemen, welche auf der Basis von Schaltbedingungen zwischen verschiedenen Zustandsbeschreibungen schalten. Es wird die Formulierung dieser Systeme untersucht, die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen nach dem Umschalten, sowie die numerische Lösung. Hierbei spielt insbesondere die konsistent Initialisierung nach dem Umschalten und die Behandlung von numerischen Schnattern während der numerischen Simulation eine wichtige Rolle. Für die konsistenten Initialisierung wird ein Verfahren verwendet welches es erlaubt einzelne Komponenten des Lösungsvektors an der Stelle des Umschaltens festzuhalten, um so die Lösung des Gesamtsystems auf physikalisch sinnvolle Weise fortzuführen. Unter Verwendung sogenannter „Sliding Mode Simulation“ ist es möglich das dynamische Verhalten des Systems während des Schnatterns zu approximieren, um durch die Lösung eines Ersatzmodells ständiges Umschalten zwischen verschiedenen Systembeschreibungen und den damit verbundenen hohen Rechenaufwand zu vermeiden. Eine Modussteuerung für die numerische Simulation hybrider differentiell-algebraischer Systeme, die die numerische Lösung der DAEs mit den Moduswechseln verbindet und Sliding Mode Simulation erlaubt wird implementiert.
The numerical simulation of complex dynamical systems nowadays plays an important role in technical applications. Typically, the dynamical systems arising from automatic model generating tools are described by differential-algebraic equations (DAEs), i.e., by differential equations describing the dynamical behavior of the system coupled with algebraic constraints forcing these dynamics onto a specific manifold. Besides the already known difficulties in solving DAEs numerically, as e.g. order reduction of numerical methods, instabilities, or the drift-off from the solution manifold, complex systems additionally can contain higher order differential-algebraic equations, or the system can switch between different system configurations or operation modes based on certain transition conditions. Further, the coefficient matrices of the DAEs can exhibit certain structures. In this thesis we discuss the analysis as well as the numerical solution of structured and switched differential-algebraic equations. Basically, the thesis focuses on three topics. First, second order differential-algebraic equations are considered. It is known that the classical order reduction that is used to transform higher order ordinary differential equations into first order systems leads to a number of difficulties when applied to DAEs, as e.g. an increase in the index of the system or even the loss of solvability. In this thesis, an index reduction method for linear as well as nonlinear second order DAEs based on differentiation of the second order system is derived that allows to construct an equivalent second order system of low index in a numerical feasible way. This approach also enables the transformation into so-called trimmed first order form of low index and an explicit representation of solutions in the case of linear time-invariant second order systems. The second topic involves structured differential-algebraic systems. As the structure of the coefficient matrices represent certain physical properties of the system the symmetry structure should be preserved during the numerical solution. In particular, linear differential-algebraic systems with symmetric and self-adjoint coefficient matrices are considered and structure preserving condensed forms for symmetric and self-adjoint linear DAEs are derived. It turns out that a structure preserving strangeness-free formulation for symmetric and self-adjoint systems only exists if the strangeness index of the system is lower or equal one. For symmetric systems we need in addition strong assumptions on the coefficient matrices in order to preserve the symmetry. Further, a structure preserving index reduction method based on so-called minimal extension is investigated that allows a structure preserving numerical treatment. The third topic involves switched or so-called hybrid differential-algebraic systems that switch between different modes of operation based on certain transition conditions. First, we examine the formulation of hybrid systems and the existence and uniqueness of solutions after switching. Afterwards, the numerical solution of hybrid systems is considered. In particular, a consistent reinitialization after mode switching is considered that allows a continuation of the previous solution in a physical reasonable way by fixing certain components of an initial value vector, and the treatment of chattering behavior during the numerical simulation using so-called sliding mode simulation is studied. A hybrid mode controller is implemented for the numerical solution of hybrid differential-algebraic systems that organizes mode switching and allows sliding mode simulation. The functionality of the mode controller is illustrated by several examples, in particular, considering electrical circuits with switching elements and mechanical systems with dry friction phenomena. Further, the basic concepts for the control of linear hybrid descriptor systems are considered.
URI: urn:nbn:de:kobv:83-opus-20515
http://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/2296
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-1999
Exam Date: 10-Sep-2008
Issue Date: 24-Oct-2008
Date Available: 24-Oct-2008
DDC Class: 510 Mathematik
Subject(s): Differentiell-algebraische Gleichungen
Gleitmodus-Regularisierung
Hybride Systeme
Ordnungsreduktion
Strukturerhaltung
Differential-algebraic equations
Hybrid systems
Order reduction
Sliding mode regularization
Structure preservation
Usage rights: Terms of German Copyright Law
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