Please use this identifier to cite or link to this item: http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-2155
Main Title: Diffusion Processes with Reflection
Translated Title: Diffusionsprozesse mit Reflektion
Author(s): Andres, Sebastian
Advisor(s): Deuschel, Jean-Dominique
Granting Institution: Technische Universität Berlin, Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften
Type: Doctoral Thesis
Language: English
Language Code: en
Abstract: Im ersten Teil der vorliegenden Dissertation werden Lösungen von stochastischen Differentialgleichungen mit Reflektion auf pfadweise Differenzierbarkeit nach dem deterministischen Anfangswert untersucht. In Kapitel 1 werden Gleichungen auf konvexen Polyedern betrachtet, wobei die Reflektionsrichtungen entlang der Randflächen zwar konstant sind, aber durchaus schief sein dürfen. Kapitel 2 behandelt dann den Fall, wo das Gebiet glatt berandet ist mit Reflektion am Rand in Normalenrichtung. Im zweiten Teil der Arbeit wird eine Partikelapproximation für die Wasserstein Diffusion bewiesen. Bei der Wasserstein Diffusion handelt es sich um einen reversiblen Markov Prozess mit Werten in der Menge von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf dem Einheitsintervall. Das Ziel ist es, ein Partikelsystem zu definieren, so dass der zugehörige Prozess von empirischen Maßen schwach gegen die Wasserstein Diffusion konvergiert. Das approximierende Partikelsystem kann interpretiert werden als ein System von interagierenden Bessel-Prozessen mit kleiner Bessel-Dimension. Insbesondere hat der Driftterm den Effekt, dass die Partikel sich gegenseitig anziehen. Eine Konsequenz hiervon ist, dass analog zu Bessel Prozessen mit Dimension kleiner als eins das System kein Semimartingal ist. Eine detaillierte Untersuchung des Partikelsystems, insbesondere Feller Eigenschaften, ist in Kapitel 3 enthalten. Die schwache Konvergenz des Partikelsystems gegen die Wasserstein Diffusion wird in Kapitel 4 bewiesen. Dabei wird zunächst Straffheit gezeigt und in einem zweiten Schritt der Limes identifiziert. Während Straffheit leicht aus etablierten Kriterien folgt, ist die Identifikation des Limes schwieriger. Hier besteht der wesentliche Beweisschritt darin, Mosco-Konvergenz der zugehörigen Dirichlet Formen nachzuweisen.
In the first part of this thesis we investigate the question whether the solutions of stochastic differential equations of the Skorohod type are differentiable almost surely with respect to the initial condition and whether one can characterize the derivatives in order to derive a Bismut formula. In Chapter 1 we consider processes on a convex polyhedron, where the directions of reflection along each face are constant but possibly oblique. The differentiability is obtained up to the first time when the solution process hits two of the faces simultaneously. The derivatives evolve according to a linear ordinary differential equation, when the solution is in the interior of the domain, and they are projected to the tangent space, when it hits the boundary. Chapter 2 deals with the case where the domain is a bounded smooth domain with normal reflection at the boundary. As a result we obtain an analogous time evolution for the derivatives as described above. In the second part a particle approximation of the Wasserstein diffusion is established, where the approximating process can be intepreted as a system of interacting Bessel process with small Bessel dimension. More precisely, we establish a reversible particle system, whose associated empirical measure process converges weakly to the Wasserstein diffusion in the high-density limit, while we have to assume Markov uniqueness for the Dirichlet form, which induces the Wasserstein diffusion. A detailed analysis of the approximating system, in particular Feller properties, is subject of Chapter 3 based on harmonic analysis on weighted Sobolev spaces. To obtain the convergence result one has to prove tightness and in a second step one has to identify the limit. The latter is obtained by proving that the associated Dirichlet forms converge in the Mosco sense to the limiting Dirichlet form.
URI: urn:nbn:de:kobv:83-opus-22332
http://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/2452
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-2155
Exam Date: 13-May-2009
Issue Date: 27-May-2009
Date Available: 27-May-2009
DDC Class: 510 Mathematik
Subject(s): Stochastische Analysis
Stochastische Prozesse
Wahrscheinlichkeitstheorie
Probability theory
Stochastic analysis
Stochastic processes
Usage rights: Terms of German Copyright Law
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