Please use this identifier to cite or link to this item: http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-2304
Main Title: Möbius structures on surfaces
Translated Title: Möbius Structuren auf Flächen
Author(s): Fabre, Claude
Advisor(s): Pinkall, Ulrich
Granting Institution: Technische Universität Berlin, Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften
Type: Doctoral Thesis
Language: English
Language Code: en
Abstract: W.P. Thurston arbeitete, als Alternative zu Teichmüllers eigener Kompaktifizierung des Teichmüller-Raums, eine neue Kompaktifizierung über den Raum der projektiven „measured foliations“ aus und schuf dabei die Werkzeuge des Graftings bzw. Prunings und Twistings längs einer Geodätischen. Die uns begegnenden veröffentlichen Visualisierungen, begnügen sich damit, mehrblättrige Geodätische auf dem 1-punktierten Torus ohne Grafting bzw. Pruning oder Twisting zu zeigen. Das Reich, das es zu betreten galt, umfaßt Möbius-Geometrie, Fuchssche Gruppen und in Form von Fraktalen materialisierte Cantor-Mengen. Unser Ziel war nicht, 3-Mannigfaltigkeiten zu untersuchen, sondern nur ein Visualisierungsdefizit zu füllen. Zweidimensionale hyperbolische bzw. Möbius-Geometrie, angewendet an Geodätischen, reicht bereits aus, um die hinter komplizierten Konstrukten versteckte Schönheit zu suggerieren. In dieser Schrift, die die Software begleitet, untersuchen wir was passiert, wenn ein 1-punktierter Torus oder eine Fläche vom Geschlecht zwei entlang einer einfachen geschlossenen Geodätischen aufgeschnitten werden, um einen schmalen Zylinder einzuschieben (Grafting), bzw. zu entfernen (Pruning) oder die Lippen des Schnittes zu verdrehen (Dehn-Twist oder Earthquake). Die mathematische Schere ist eine Möbius-Transformation mit einem komplexen Winkel als Veränderlicher, dessen Realteil Grafting bzw. Pruning und dessen Imaginärteil einen Drill erzeugt. Die Wahl des 1-punktierten Torus und der Brezel waren durch die magischen Effekte der (hyperelliptischen) Involution motiviert, d.h. die durch eine 180°-Drehung um die Symmetrie-Achse erreichte identische Abbildung. Flächen höheren Geschlechts vermissen die Involution, als sie in der Regel nicht hyperelliptisch sind. Grafting bzw. Pruning und Twisting wirken auf Parkettierungen der Riemann-Sphäre ein, als sie durch Zerknittern einer hyperbolischen Ebene im hyperbolischen Raum entstehen. Als Konsequenz wird eine Parkettierung auf- bzw. abgebläht oder durchgerissen. Ein weiteres Ziel waren durch die Visualierung angeregte Propositionen, die uns zur Vertiefung herausforderten. So bestimmen wir Metriken für das transformierte Fundamentalgebiet. Wir bieten ein transverses Maß für geodätische Laminierungen an. Wir untersuchen im Detail das einzigartige Verhalten von einfachen geschlossenen Geodätischen, deren Blätter geschwind auf eine Grenzlage zusteuern. Eine Folge geschlossener Geodätischen wird zur unendlichen sich windenden Geodätischen mit einer Cantor-Menge als Grenzlage. Schließlich nützen wir in den Anhängen die Gelegenheit, unsere Mathematica-Software „diskgeometry“ für zweidimensionale hyperbolische und Möbius-Geometrie etwaigen Interessenten zur Verfügung zu stellen.
As an alternative to Teichmüller's own compactification of Teichmüller space W. P. Thurston elaborated a new compactification by the space of projective measured foliations, creating the operations of grafting/pruning and twisting along geodesics. The visualizations we found do not go beyond showing multiple leaved geodesics on the 1-punctured torus without grafting/pruning or twisting. The realm we were entering covers Möbius geometry, Fuchsian groups and Cantor sets materialized as fractals. We were eager to fill a visualization gap, not to scrutinize hyperbolic three-manifolds. Two-dimensional hyperbolic and Möbius geometry applied on geodesics are enough to unveil some of the beauty hidden behind complex mathematical constructs. In this paper accompanying the software we examine what happens when a 1-punctured torus or a surface of genus two is cut along a simple closed geodesic in order to insert a small cylinder (grafting), remove it (pruning) or let both rims glide along each other (Dehn-twist or earthquake). The mathematical scissors are a Möbius transformation with variable a complex angle whose real part produces grafting/pruning and imaginary part twisting. The choice of the 1-punctured torus and the pretzel was motivated by the magic effects of their (hyperelliptic) involution, i.e. the identity map obtained when rotating the pretzel about a half turn around its axis of symmetry. Surfaces of higher genus miss these effects as they are in general not hyperelliptic. Grafting/pruning and twisting act on tilings of the Riemann sphere, as these operations are induced by pleating an hyperbolic plane in hyperbolic space. This leads to inflating, deflating, cleaving tessellations. Another goal are propositions suggested by visualization, we were eager to investigate. So we fix the metrics across the grafted and pruned tile. We give a transverse measure for geodesic laminations. We study in detail the peculiar behavior of simple closed geodesics whose leaves rush swiftly against a limit. A sequence of closed geodesics tends towards an infinite spiraling geodesic, the bending limit being a Cantor set. Last but not least we take in the last chapter together with the appendices the opportunity of making available our Mathematica package diskgeometry' for 2-dimensional hyperbolic and Möbius geometry.
URI: urn:nbn:de:kobv:83-opus-24826
http://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/2601
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-2304
Exam Date: 18-Nov-2009
Issue Date: 25-Nov-2009
Date Available: 25-Nov-2009
DDC Class: 550 Geowissenschaften
Subject(s): Dehn-Twist
Flächen
Grafting
Möbius
Pruning
Earthquake
Grafting
Moebius
Pruning
Surfaces
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