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Main Title: Iteration acceleration for the Kohn-Sham system of DFT for semiconductor devices
Translated Title: Iterationsbeschleunigung für das Kohn-Sham System der Dichte-Funktionaltheorie (DFT) für Halbleiterbauelemente
Author(s): Hoke, Kurt
Advisor(s): Schneider, Reinhold
Granting Institution: Technische Universität Berlin, Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften
Type: Doctoral Thesis
Language: English
Language Code: en
Abstract: Die Partikeldichte spielt in der Dichte-Funktional Theorie eine wesentliche Rolle und dank Hohenberg und Kohn [42] ist bekannt, dass diese eindeutig ist und das zugrundeliegende System bereits vollständig beschreibt. Mit dieser Grundlage, waren Kohn und Sham [57] anschließend in der Lage, das schwierig zu losende Vielteilchen-Problem durch eine einfachere Einteilchen-Formulierung zu ersetzen. Wobe Wechselwirkungen durch Einfügen eines Austausch-Korrelations Terms in das effektive Potential eingebunden wurden. Ergebnis daraus war das bekannte Kohn-Sham System, das ein nichtlinear gekoppeltes partielles Differentialgleichungssystem darstellt, welches nun in selbst-konsistenter Weise gelöst werden muss. In dieser Arbeit steht die quantenmechanische Beschreibung von Halbleiterbauelementen im Vordergrund, so dass wir den beteiligten Schr ödinger Operator in der Effektivmassen-Approximation betrachten und auf Grund der Heterostrukturen springende Koeffizienten und Potentiale behandeln müssen. Grundlage der numerischen Behandlung ist eine Fixpunkt-Formulierung auf Basis der Partikeldichte. Ein g ängiges Verfahren zur L ösung dieses Problems ist das 'linear mixing' Verfahren, welches einer gedämpften Picard oder Banach Iteration entspricht. Die schlechten Konvergenzeigenschaften von Dämpfungsverfahren, führt dann zu der Notwendigkeit Beschleunigungsverfahren einzusetzen. Etablierte Verfahren auf Basis eines Newton-Verfahrens können hier Abhilfe schaffen, allerdings ist der numerische Aufwand zur Berechnung von Informationen über den Jacobian immens. Ziel dieser Arbeit ist es, ein effizientes Beschleunigungsverfahren zu entwickeln, welches eine hochdimensionale Verallgemeinerung des 'linear mixing' Verfahrens darstellt. Ansatzpunkt dafür ist das 'direct inversion in the iterative subspace' (DIIS) Verfahren aus der Quantenchemie. Allerdings birgt ein direkter Übertrag dieses Verfahrens auf unser Problem deutliche Gefahren. Grund dafur ist die Extrapolationseigenschaft des DIIS Verfahrens, welche negative Koeffizienten erzeugt. Angewandt auf unser Problem bedeutet dies, dass die zusammengesetzte Dichte m öglicherweise negativ ist und somit bereits außerhalb des L ösungsraums liegt. Daher muss sichergestellt sein, dass bei Anwendung des DIIS Verfahrens nur positive Dichten erzeugt werden. Dies wird durch das Einführen zusätzlicher Bedingungen an die Koeffizienten erreicht, die die Positivität der Dichte garantieren. Das resultierende Verfahren wird als convex DIIS bezeichnet. Als Testbeispiel wird die Exzitonenlokalisation in einem dreidimensional gerechneten Quantenpunkt verwendet. Die Ergebnisse zeigen, dass das CDIIS Verfahren eine wesentliche Beschleunigung gegenüber dem einfachen 'linear mixing' Verfahren bedeutet und zudem lediglich eine einzige Funktionsauswertung pro Schritt erforderlich ist. Zusammenfassend kann gesagt werden, dass CDIIS die Fixpunktrechnung beschleunigt, aber gleichzeitig die Kosten pro Schritt gering halt und zudem die Qualität der berechneten Dichten garantiert
In Density Functional Theory the main object of relevance is the systems particle density, which, thanks to Hohenberg and Kohn [42], is known to uniquely determine the systems ground-state and all other properties. It was due to Kohn and Sham [57] to benefit from this information, by introducing a single-particle formulation for describing the multi-particle problem. For incorporating interaction effects, they included an exchange and correlation term in the effective potential. The resulting Kohn-Sham system is a nonlinearly coupled system of partial differential equations, that has to be solved self-consistently. In this work we are mainly interested in the quantum mechanical description of semiconductor heterostructures. Thus, we will look at the involved Schr ödinger operator in effective mass approximation and have to deal with discontinuous coefficients and potentials. For numerically treating the Kohn-Sham system, we will use the fixed point formulation on basis of the particle density. A commonly used scheme for solving this problem is the well-known 'linear mixing' scheme, that corresponds to a damped Picard (or Banach) iteration. However, this method is known to suffer from slow convergence and thus the use of acceleration methods is advised. Using well-established acceleration schemes based on the Newton-method, is possible, but the numerical costs for computing the needed information about the Jacobian are quite big. The aim of this work is the introduction of a fast and efficient acceleration method that generalises the 'linear mixing' scheme to higher dimensions. The basis of our approach will be the 'direct inversion in the iterative subspace' (DIIS) method from quantum chemistry. In Hartree-Fock and Coupled Cluster calculations DIIS is used to accelerate the calculation of electron orbitals. However, a straight forward transfer to our problem is dangerous. This is due to the extrapolation ability of the DIIS scheme, leading to negative mixing coefficients. Applied to our density approach, this may result in a negative density, meaning an iterate lying outside of the solution space. Thus, when applying the DIIS scheme to our problem, we have to ensure positivity of the produced density. We do this by introducing further constraints on the coefficients, that ensure positivity of the computed iterates. The resulting convex DIIS (CDIIS) scheme is then tested on exciton calculation in a three-dimensional quantum dot example. The results show, that the CDIIS method considerably accelerates the 'linear mixing' approach, while in every step only a single function evaluation is performed. Thus, the CDIIS scheme accelerates the calculation while keeping the computational costs low and ensuring the quality of the iterates.
URI: urn:nbn:de:kobv:83-opus-27679
http://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/2869
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-2572
Exam Date: 2-Jul-2010
Issue Date: 22-Sep-2010
Date Available: 22-Sep-2010
DDC Class: 510 Mathematik
Subject(s): DFT
DIIS
Halbleiter
Unterraumbeschleunigung
DFT
DIIS
Semiconductor
Subspace acceleration
Usage rights: Terms of German Copyright Law
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