Please use this identifier to cite or link to this item: http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-2595
Main Title: Direkte Diskretisierung der Schrödingergleichung auf dünnen Gittern
Translated Title: Direct discretization of the Schrödinger equation using sparse grids
Author(s): Zeiser, Andreas
Advisor(s): Yserentant, Harry
Granting Institution: Technische Universität Berlin, Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften
Type: Doctoral Thesis
Language: German
Language Code: de
Abstract: Die elektronische Schrödingergleichung ist der Schlüssel zum Verständnis des Verhaltens von Atomen und Molekülen und damit zur Vorhersage ihrer chemischen Eigenschaften. Im allgemeinen muss diese Gleichung mit Hilfe numerischer Verfahren approximativ gelöst werden. Verwendet man klassische Diskretisierungsverfahren, so steigt der Aufwand exponentiell in der Anzahl der Elektronen - ein Verhalten, welches auch als Fluch der Dimensionen bezeichnet wird. Ein möglicher Ausweg besteht darin, Diskretisierungen zu verwenden, welche zur Approximation die erstaunlich hohe gemischte Regularität der Wellenfunktionen, sowie deren exponentielles Abklingen ausnutzen. Die vorliegende Arbeit untersucht allgemein die Diskretisierung hochdimensionaler elliptischer Gleichungen für den Fall, dass die gesuchte Lösung in gewichteten Sobolevräumen gemischter Ordnung liegt. Das wichtigste Beispiel ist dabei die oben angesprochene elektronische Schrödingergleichung. Für die Diskretisierung werden anisotrope Tensorprodukte von Wavelets verwendet. Zur Konstruktion von Ansatzräumen wird auf den gewichteten Räumen gemischter Ordnung eine äquivalente diskrete Norm in den Entwicklungskoeffizienten hergeleitet. Mit Hilfe dieser Normäquivalenz können a priori wichtige Ansatzfunktionen identifiziert und so effiziente Approximationsräume konstruiert werden. Dieser Ansatz führt auf dünne Gitter in Ort und Stufe der Wavelets. Auf diese Weise werden Approximationsraten erreicht, die bis auf logarithmische Terme unabhängig von der Anzahl der Dimensionen sind. Genügt die Lösung zudem noch gewissen Antisymmetriebedingungen, wie dies für die Schrödingergleichung der Fall ist, so sind die Raten tatsächlich unabhängig von der Anzahl der Dimensionen, der Fluch der Dimensionen also gebrochen. Anschließend werden die so konstruierten Räume als Ansatzräume in einem Galerkin Verfahren zur Diskretisierung elliptischer Differentialgleichungen verwendet. Es wird untersucht, inwieweit die entstehenden Gleichungssysteme effizient mit iterativen Verfahren gelöst werden können. Einerseits kann ein einfacher Vorkonditionierer konstruiert werden, der eine Kondition liefert, die unabhängig von der Feinheit der Diskretisierung ist. Andererseits sind jedoch die Matrizen sogar für lokale Operatoren fast voll besetzt, so dass der Aufwand der Matrix-Vektor-Multiplikation die Komplexität des gesamten Algorithmus bestimmt. Aufbauend auf dem unidirektionalen Prinzip und der Mehrskalenstruktur der Ansatzfunktionen wird daher eine schnelle Matrix-Vektor-Multiplikation vorgeschlagen, deren Aufwand unter gewissen Voraussetzungen nur linear in der Anzahl der Freiheitsgrade skaliert. Im Falle der Schrödingergleichung wird explizit auf die effiziente Berechnung der Matrixelemente eingegangen und schließlich die Gleichung für das Heliumatom numerisch gelöst.
The electronic Schrödinger equation forms the basis for the understanding of chemical properties of atoms and molecules. In general this equation has to be solved approximately using numerical methods. Using classical discretization schemes the effort grows exponentially in the number of electrons. This so called curse of dimensionality can be overcome by using the extraordinary high mixed regularity of the wave functions as well as their exponential decay. This work discusses the discretization of general elliptic equations in high dimensions where the solution is a member of a certain weighted Sobolev space of mixed order. The most important example is the already mentioned electronic Schrödinger equation. For the discretization we use anisotropic tensor product wavelets. For the construction of efficient approximations we derive an equivalent discrete norm with respect to the wavelet basis for the weighted Sobolev spaces of mixed order. This enables us to identify important contributions which finally leads to sparse grid spaces in the level as well as the location of the wavelets. We show that with this approach approximation rates can be reached which are up to logarithmic terms independent of the number of dimensions. If in addition the solution is anti-symmetric with respect to interchange of variables, which is the case for the electronic Schrödinger equation, the approximation rates are independent of the number of dimensions. The curse of dimensionality is therefore broken. Subsequently we study the Galerkin discretization of elliptic partial differential equations using these ansatz spaces. In particular we discuss the efficient treatment of the resulting linear systems by iterative methods. On the one hand a simple and efficient preconditioner can be constructed with a condition number which can be bounded independently of the number of levels. On the other hand the resulting matrices are almost dense even for local operators. Hence the matrix vector multiplications governs the complexity of the whole algorithm. Based on the uni-directional principle and the multi scale structure of the ansatz functions a fast algorithm with linear complexity for the matrix vector multiplication is proposed. In the case of the Schrödinger equation we treat the efficient calculation of the matrix elements and finally solve the equation for the Helium atom numerically.
URI: urn:nbn:de:kobv:83-opus-27910
http://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/2892
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-2595
Exam Date: 15-Sep-2010
Issue Date: 11-Oct-2010
Date Available: 11-Oct-2010
DDC Class: 510 Mathematik
Subject(s): Approximation
Dünne Gitter
Schrödingergleichung
Wavelets
Approximation
Schrödinger equation
Sparse grids
Wavelets
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