Please use this identifier to cite or link to this item: http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-2719
Main Title: Numerical solution of the Hartree-Fock equation by multilevel tensor-structured methods
Translated Title: Numerische Loesung der Hartree-Fock-Gleichung mit mehrstufigen Tensor-structurierten Verfahren
Author(s): Khoromskaia, Venera
Advisor(s): Schneider, Reinhold
Granting Institution: Technische Universität Berlin, Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften
Type: Doctoral Thesis
Language: English
Language Code: en
Abstract: Die genaue Loesung der Hartree-Fock-Gleichung (HFG), die ein nichtlineares Eigenwertproblem in $\mathbb{R}^3$ darstellt, ist infolge der nichtlokalen Intergraltransformationen und der scharfen Peaks in der Elektronendichte und den Molekuelorbitalen eine herausfordernde numerische Aufgabe. Aufgrund der nichtlinearen Abhaengigkeit der Hamilton-Matrix von den Eigenvektoren, ist das Problem nur iterativ loesbar. Die traditionelle Loesung der HFG basiert auf einer analytischen Berechnung der auftretenden Faltungsintegrale im $\mathbb{R}^3$ mit Hilfe von dem Problem angepassten Basen (so genannte Zwei-Elektron-Integrale). Die inhaerenten Grenzen dieses Konzepts werden wegen der starken Abhaengigkeit der numerischen Effizienz von der Groesse und den Eigenschaften der analytisch separablen Basis sichtbar. In dieser Dissertation wurden neue gitter-basierte mehrstufige Tensor-strukturierte Verfahren entwickelt und anhand der numerischen Loesung der HFG getestet. Diese Methoden beinhalten effiziente Algorithmen zur Darstellung diskretisierter Funktionen und Operatoren in $\mathbb{R}^3$ durch strukturierte Tensoren in den kanonischen, Tucker- und kombinierten Tensorformaten mit einer kontrollierbaren Genauigkeit sowie schnelle entsprechenden Operationen fuer multilineare Tensoren. Insbesondere wird die beschleunigte Mehrgitter-Rang-Reduktion des Tensors vorgestellt, die auf der reduzierten Singulaerwertzerlegung hoeherer Ordnung basiert. Der Kern der Anwendung dieser Verfahren fuer die Loesung der HFG ist die Verwendung strukturierter Tensoren zur genauen Berechnung der Elektronendichte und der nichtlinearen Hartree- und (nichtlokalen) Austauschoperatoren in $\mathbb{R}^3$, die in jedem Iterationsschritt auf einer Reihenfolge von $n\times n\times n$ kartesischen Gittern darstellt wurden. Somit wurden die entsprechenden sechs-dimensionalen Integrationen durch multilineare algebraische Operationen wie das Skalar- und Hadamardprodukt, die dreidimensionale Faltungstransformation und die Rang-Reduktion fuer Tensoren dritter Ordnung ersetzt, die annaehernd mit $O(n)$-Komplexitaet implementiert wurden, wobei $n$ die eindimensionale Gittergroesse ist. Daher ist der wesentliche Vorteil unserer Tensor-strukturierten Verfahren, dass die gitter-basierte Berechnung von Integraloperatoren in $\mathbb{R}^d$, $d\geq3$, lineare Komplexitaet in $n$ hat. Man beachte, dass im Sinne der uebliche Abschaetzung mittels des Gittervolumens $N_{vol}=n^3$ die Operationen mit strukturierten Tensoren eine sublineare Komplexitaet haben, $O(N_{vol}^{1/3})$. Das vorgestellte "grey-box"'-Schema zur Loesung der HFG erfordert keine analytischen Vorberechnungen der Zwei-Elektron-Integrale. Weiterhin ist dieses Schema sehr flexibel hinsichtlich der Wahl der gitter-orientierten Basisfunktionen. Numerische Berechnungen am Beispiel des all electron'' Falls fuer H$_2$O, CH$_4$ und C$_2$H$_6$ und des Pseudopotentialfalls fuer CH$_3$OH and C$_2$H$_5$OH Molekuele zeigen die geforderte hohe Genauigkeit. Die Tensor-strukturierten Verfahren koennen auch zur Loesung der Kohn-Sham-Gleichung angewandt werden, indem anstelle einer problem-unabhaengigen Basis, wie die der ebenen Wellen oder einer grossen Anzahl finiter Elemente im $\mathbb{R}^3$, eine geringe Anzahl problem-orientierter rang-strukturierter algebraischer Basisfunktionen verwendet werden, die auf einem Tensorgitter dargestellt sind.
An accurate solution of the Hartree-Fock equation, a nonlinear eigenvalue problem in $\mathbb{R}^3$, is a challenging numerical task due to the presence of nonlocal integral transforms and strong cusps in the electron density and molecular orbitals. In view of the nonlinear dependence of the Hamiltonian matrix on the eigenvectors, this problem can only be solved iteratively, by self-consistent field iterations. Traditionally, the solution of the Hartree-Fock equation is based on rigorous analytical precomputation of the arising convolution type integrals in $\mathbb{R}^3$ in the naturally separable basis (so-called two-electron integrals). Inherent limitations of this concept are evident because of the strong dependence of the numerical efficiency on the size and approximation quality of the problem adapted basis sets. In this dissertation, novel grid-based multilevel tensor-structured methods are developed and tested by a numerical solution of the Hartree-Fock equation. These methods include efficient algorithms for the low-rank representation of discretized functions and operators in $\mathbb{R}^3$, in the canonical, Tucker and mixed tensor formats with a controllable accuracy, and fast procedures for the corresponding multilinear tensor operations. In particular, a novel multigrid accelerated tensor rank reduction method is introduced, based on the reduced higher order singular value decomposition. The core of our approach to the solution of the Hartree-Fock equation is the accurate tensor-structured computation of the electron density and the nonlinear Hartree and the (nonlocal) exchange operators in $\mathbb{R}^3$, discretized on a sequence of $n\times n\times n$ Cartesian grids, at every step of nonlinear iterations. Hence, the corresponding six-dimensional integrations are replaced by multilinear algebra operations such as the scalar and Hadamard products, the 3D convolution transform, and the rank truncation for $3$rd order tensors, which are implemented with an almost $O(n)$-complexity, where $n$ is the univariate grid size. In this way, the basic advantage of our tensor-structured methods is the grid-based evaluation of integral operators in $\mathbb{R}^d$, $d\geq3$, with linear complexity in $n$. Note that in terms of usual estimation by volume size ${ N}_{vol}=n^3$, the tensor-structured operations are of sublinear complexity, $O(N_{vol}^{1/3})$. The proposed grey-box'' scheme for the solution of the Hartree-Fock equation does not require analytical precomputation of two-electron integrals. Also, this scheme is very flexible to the choice of grid-based separable basis functions. Numerical illustrations for all electron case of H$_2$O, CH$_4$, C$_2$H$_6$ and pseudopotential case of CH$_3$OH and C$_2$H$_5$OH molecules demonstrate the required high accuracy of calculations and an almost linear computational complexity in $n$. The tensor-structured methods can be also applied to the solution of the Kohn-Sham equation, where instead of problem-independent bases like plane waves or a large number of finite elements in $\mathbb{R}^3$, one can use much smaller set of problem adapted basis functions specified on a tensor grid.
URI: urn:nbn:de:kobv:83-opus-29482
http://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/3016
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-2719
Exam Date: 10-Dec-2010
Issue Date: 4-Feb-2011
Date Available: 4-Feb-2011
DDC Class: 510 Mathematik
Subject(s): Hartree-Fock-Gleichung
Integraloperatoren
Rang-Reduktion
Struktutierte multilinear Tensoren
Tensorformaten
Hartree-Fock equation
Integral operators
Rank reduction
Structured multilinear tensors
Tensor formats
Usage rights: Terms of German Copyright Law
Appears in Collections:Technische Universität Berlin » Fakultäten & Zentralinstitute » Fakultät 2 Mathematik und Naturwissenschaften » Institut für Mathematik » Publications

Files in This Item:
File Description SizeFormat 
Dokument_34.pdf6.12 MBAdobe PDFThumbnail
View/Open


Items in DepositOnce are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.