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Main Title: Spektraltheorie singulärer indefiniter Sturm-Liouville-Operatoren
Translated Title: Spectral theory of singular indefinite Sturm-Liouville operators
Author(s): Philipp, Friedrich
Advisor(s): Behrndt, Jussi
Granting Institution: Technische Universität Berlin, Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften
Type: Doctoral Thesis
Language: German
Language Code: de
Abstract: In dieser Dissertation betrachten wir Differentialausdr"ucke der Form %\begin{equation}\label{ell} $$ \ell = \frac 1 w\left(-\frac d {dx}p\frac d{dx} + q\right), $$ %\end{equation} wobei die auf einem Intervall $(a,b)$ erkl"arten Funktionen $w$, $p^{-1}$ und $q$ reellwertig und lokal integrierbar sind mit $w(x)\neq 0$ und $p(x) > 0$ fast "uberall. Wir nehmen an, dass die Gewichtsfunktion $w$ ihr Vorzeichen wechselt und dass $\ell$ im Grenzpunktfall bei $a$ und $b$ ist. Der mit $\ell$ assoziierte und im gewichteten $L^2$-Raum $L^2_{|w|}(a,b)$ agierende maximale Operator $A$ ist dann selbstadjungiert bez"uglich des {\it indefiniten} inneren Produkts $$ [f,g] := \int_a^b\,f(x)\ol{g(x)}w(x)\,dx,\quad f,g\in L^2_{|w|}(a,b). $$ Mit dem Multiplikationsoperator $J = \operatorname{sgn}(w(x))$ ist zudem der Operator $JA$ selbstadjungiert im Hilbertraum $L^2_{|w|}(a,b)$. Wir nehmen an, der Operator $JA$ sei nach unten beschr"ankt. In den F"allen $\min\sigma(JA) > 0$ oder $\min\sigma_{\rm ess}(JA) > 0$ kann dann mit S"atzen aus der Operatortheorie in R"aumen mit indefiniter Metrik gezeigt werden, dass das Spektrum von $A$ -- mit eventueller Ausnahme einer endlichen Menge -- reell ist und dass der Operator $A$ eine Spektralfunktion auf $\R$ mit Singularit"aten besitzt. Wir lassen hier auch $\min\sigma_{\rm ess}(JA)\le 0$ zu und betrachten im Speziellen die F"alle \begin{itemize} \item[(i)] Es gibt $a',b'\in (a,b)$, so dass die Gewichtsfunktion $w$ auf jeweils $(a,a')$ und $(b',b)$ ihr Vorzeichen nicht wechselt; \item[(ii)] $(a,b) = \R$, und $w$, $p$ und $q$ sind periodisch mit derselben Periode. \end{itemize} In beiden F"allen zeigen wir die a priori nicht selbstverst"andliche Tatsache, dass die Resolventenmenge des Operators $A$ nichtleer ist. Es zeigt sich zudem, dass das nichtreelle Spektrum des Operators $A$ in beiden F"allen (im Fall (ii) mit gewissen Voraussetzungen an die Funktionen $w$ und $p$) beschr"ankt ist. Desweiteren k"onnen wir zeigen, dass es ein $\eta > 0$ gibt, so dass der Operator $A$ auf $(-\infty,-\eta]\cup [\eta,+\infty)$ -- "ahnlich wie ein selbstadjungierter Operator im Hilbertraum -- eine Spektralfunktion $E$ besitzt. Die Innenproduktr"aume $(\ran E([\eta,c)),\product)$ und $(\ran E((-c,-\eta]),-\product)$ sind dann f"ur jedes $c > \eta$ Hilbertr"aume.
In this thesis we consider differential expressions of the form %\begin{equation}\label{ell} $$ \ell = \frac 1 w\left(-\frac d {dx}p\frac d{dx} + q\right), $$ %\end{equation} where $w$, $p^{-1}$ and $q$ are real-valued, locally integrable functions on a (bounded or unbounded) interval $(a,b)$ with $w(x)\neq 0$ and $p(x) > 0$ (a.e.). It is assumed that the weight function $w$ does not change its sign and that $\ell$ is limit point at both endpoints $a$ and $b$. The maximal operator $A$ corresponding to $\ell$ acts in the weighted $L^2$-space $L^2_{|w|}(a,b)$ and is selfadjoint with respect to the {\it indefinite} inner product $$ [f,g] := \int_a^b\,f(x)\ol{g(x)}w(x)\,dx,\quad f,g\in L^2_{|w|}(a,b). $$ Equivalently, with $J = \operatorname{sgn}(w(x))$ the operator $JA$ is selfadjoint in the Hilbert space $L^2_{|w|}(a,b)$. In the cases $\min\sigma(JA) > 0$ and $\min\sigma_{\rm ess}(JA) > 0$ it is well-known that the spectrum of the operator $A$ is real (with the possible exception of a finite number of non-real eigenvalues with finite multiplicities) and that $A$ has a spectral function on $\R$ with singularities. Here, we assume that $JA$ is bounded from below but allow $\min\sigma_{\rm ess}(JA)$ to be non-positive. We focus on the following two cases: \begin{itemize} \item[(i)] There exist $a',b'\in (a,b)$ such that the weight function $w$ does not change its sign on $(a,a')$ and $(b',b)$, respectively. \item[(ii)] $(a,b) = \R$, and $w$, $p$, $q$ are periodic with the same period. \end{itemize} In both cases we show the a priori not self-evident fact that the resolvent set of the operator $A$ is non-empty. It turns out that (under certain conditions on the functions $w$ and $p$ in the case (ii)) the non-real spectrum of $A$ is bounded. Moreover, it is shown that there exists some $\eta > 0$ such that -- similarly as a selfadjoint operator in a Hilbert space -- the operator $A$ has a spectral function $E$ on $(-\infty,-\eta]\cup [\eta,+\infty)$. The inner product spaces $(\ran E([\eta,\infty)),\product)$ and $(\ran E((-\infty,-\eta]),-\product)$ are Hilbert spaces. As a consequence, the operator $A$ decomposes into a direct $\product$-orthogonal sum of a bounded operator and a selfadjoint operator in a Hilbert space.
URI: urn:nbn:de:kobv:83-opus-30985
http://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/3158
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-2861
Exam Date: 22-Feb-2011
Issue Date: 17-Jun-2011
Date Available: 17-Jun-2011
DDC Class: 510 Mathematik
Subject(s): Indefiniter Sturm-Liouville-Operator
Kreinraum
Periodische Koeffizienten
Resolventenmenge
Spektraltheorie
Indefinite Sturm-Liouville operator
Krein space
Periodic coefficients
Resolvent set
Spectral theory
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