Please use this identifier to cite or link to this item: http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-2864
Main Title: Zur anisotropen Sobolev-Regularität der elektronischen Schrödinger-Gleichung
Translated Title: On the anisotropic Sobolev regularity of the electronic Schrödinger equation
Author(s): Kreusler, Hans-Christian
Advisor(s): Yserentant, Harry
Granting Institution: Technische Universität Berlin, Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften
Type: Doctoral Thesis
Language: German
Language Code: de
Abstract: Die Lösungen der elektronischen Schrödinger-Gleichung, also die Eigenfunktionen des zugehörigen Hamilton-Operators, beschreiben in der Quantenmechanik die stabilen Zustände von Atomen und Molekülen; die Kenntnis ihrer Eigenschaften ist daher sowohl in theoretischer als auch in praktischer Hinsicht von Interesse. In dieser Arbeit werden die Regularitätseigenschaften dieser Funktionen in anisotropen Sobolev-Räumen untersucht. Derartige Räume spielen insbesondere eine grundlegende Rolle bei der Analyse der numerische Approximation der Eigenfunktionen mittels sogenannter Dünner Gitter. Zunächst zeigen wir in dieser Arbeit einige grundlegende Strukturaussagen für anisotrope Sobolew-Räume. Wir untersuchen die Interpolation zwischen derartigen Räumen und beweisen eine Reihe äquivalenter Formulierungen der zugrunde liegenden Normen. Weiterhin zeigen wir, dass sich Funktionen in diesen Räumen bis zu einer gewissen Ableitungsordnung approximieren lassen durch glatte Funktionen, deren Träger um die Singularitäten des Coulomb-Potentials verschwindet. Diese Eigenschaft kann hilfreich sein bei der Untersuchung des Potentials des elektronischen Hamilton-Operators. Des weiteren untersuchen wir die Abbildungseigenschaften von sogenannten Jastrow-Faktoren - einer Klasse von Multiplikationsoperatoren - zwischen anisotropen Sobolev-Räumen. Ausgehend von bekannten Regularitätsaussagen für den regularisierten Teil einer Eigenfunktionen gelangen wir mit Hilfe der bewiesenen strukturellen Aussagen zu neuen und - wie wir weiterhin zeigen können - optimalen Regularitätsresultaten für die Eigenfunktionen des elektronischen Hamilton-Operators.
The eigenfunctions of the electronic Hamilton operator are fundamental in Quantum mechanics as they describe the stable states of atoms and molecules. Their properties are therefore most important both for theoretical and numerical considerations. In this thesis we examine the regularity properties of theses eigenfunctions in anisotropic Sobolev spaces which play a fundamental role in the numerical analysis of so called Sparse Grids. We first show some basic structural propositions for anisotropic Sobolev spaces, in particular we explore the interpolation between these spaces as well as prove some equivalent norms. Furthermore we show a new density result: Up to some certain order of mixed derivation functions in anisotropic Sobolev spaces can be approximated by smooth functions with support bounded away from the singularities of the Coulomb potential. Finally, we examine so called Jastrow factors as multiplication operators between certain anisotropic Sobolev spaces. We start with some well known facts on the regularity properties of the regularized part of the eigenfunctions an end up with some new - and as we show: optimal - regularity statements for the eigenfunctions of the electronic Schrödinger equation.
URI: urn:nbn:de:kobv:83-opus-31137
http://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/3161
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-2864
Exam Date: 10-Jun-2011
Issue Date: 21-Jun-2011
Date Available: 21-Jun-2011
DDC Class: 510 Mathematik
Subject(s): Eigenfunktionen
Regularität
Schrödinger-Gleichung
Sobolewraum
Eigenfunction
Regularity
Schrödinger equation
Sobolev space
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