Please use this identifier to cite or link to this item: http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-3474
Main Title: Zur Theorie der Niedrigrangapproximation in Tensorprodukten von Hilberträumen
Translated Title: On low-rank approximation in tensor product Hilbert spaces
Author(s): Uschmajew, André
Advisor(s): Yserentant, Harry
Granting Institution: Technische Universität Berlin, Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften
Type: Doctoral Thesis
Language: German
Language Code: de
Abstract: In dieser Arbeit werden verschiedene Fragen der Tensorproduktapproximation in Hilberträumen behandelt. Motiviert werden diese Fragen durch nichtlineare Separationsansätze für Funktionen mehrerer Variablen, die in vielen Anwendungen eingesetzt werden mit dem Ziel, den sogenannten Fluch der Dimensionen zu umgehen. Im ersten Abschnitt werden multilineare Tensorformate wie die kanonische Entwicklung in Elementartensoren und optimale Unterraumdarstellungen in Tensorprodukten von Hilberträumen definiert, sowie geometrische Eigenschaften der zugehörigen Rangbegriffe untersucht. In Kapitel 5 beweisen wir Mannigfaltigkeitsstrukturen für Mengen von Tensoren mit festem Unterraumrang. Im zweiten Abschnitt werden topologische Eigenschaften der Mengen von Tensoren mit beschränktem Rang untersucht, sowie entsprechende Konsequenzen zur Existenz von Minimierern geeigneter Funktionen gezogen. Besonderes Augenmerk liegt dabei auf der Existenz bester Approximationen eines Tensors durch einen Tensor niedrigeren Ranges bezüglich der kanonischen Kreuznorm. Als eigenes Resultat ist hier die Existenz bester Approximation in orthogonalen Tensorformaten zu nennen (Abschnitt 7.3). Weiterhin ergeben sich aus den notwendigen Optimalitätsbedingungen interessante Regularitätsaussagen für die Faktoren in einer besten Approximation (Kapitel 8). Der dritte Abschnitt behandelt die Berechnung von Approximationen mittels des nichtlinearen Gauß-Seidel-Verfahrens. Das Hauptergebnis sind die lokalen Konvergenzsätze für verschiedene Tensorformate in Kapitel 10. Sie werden aus einer neuen geometrischen Deutung des Verfahrens als "Iteration auf Orbitmannigfaltigkeiten" gewonnen, welche in Kapitel 9 dargelegt wird.
This thesis deals with some aspects of low-rank tensor product approximation in an Hilbert space setting. The question of low-rank approximation is motivated by nonlinear separation techniques of multivariate functions, which are employed in several fields of application to circumvent the curse of dimensionality. In the first part multilinear tensor formats such as the canonical decomposition into elementary tensors und (hierarchical) optimal subspace representations are introduced. Some geometric properties of the corresponding notions of rank are investigated. In chapter 5 the differential manifold properties of sets of tensors of fixed subspace ranks are proven. The second part deals with topological properties of sets of tensors of bounded (corresponding) rank and their implications concerning the existence of minimizers of appropriate functions over such sets. Special attention is paid to the particular question of existence of best approximations of a tensor by tensors of lower rank. One of our own results is the existence of such best approximations in orthogonal canonical low-rank formats (section 7.3). Further, the necessary optimality conditions allow for interesting regularity results for the factors in a best low-rank approximation, if existent (chapter 8), which are analogous to the corresponding well-known properties of the singular factors in a Schmidt expansion of an L2 function. In a third part, the nonlinear Gauss-Seidel method for obtaining approximations in the several tensor formats is addressed, a well-known special case being the alternating least squares algorithm (ALS). The main results are the local convergence criteria in chapter 10 for different formats. They are obtained by a geometric viewpoint, which regards the method as an iteration on the quotient manifold of equivalent tensor representations, and allows to ignore the problem of "nondefiniteness due to nonuniqueness", which formally forbids the application of standard local convergence theory for nonlinear Gauss-Seidel. A fairly general framework for local convergence of fixed-point iterations with non-unique fixed points is thus developed in chapter 9.
URI: urn:nbn:de:kobv:83-opus-38121
http://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/3771
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-3474
Exam Date: 18-Dec-2012
Issue Date: 10-Jan-2013
Date Available: 10-Jan-2013
DDC Class: 510 Mathematik
Subject(s): Approximation
Tensorformate
Tensorprodukte
Tensorrang
Approximation
Low-rank manifolds
Tensor format
Tensor products
Tensor rank
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