Please use this identifier to cite or link to this item: http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-3601
Main Title: Topics in Gaussian rough paths theory
Translated Title: Themen aus der Gauss'schen rough paths Theorie
Author(s): Riedel, Sebastian
Advisor(s): Friz, Peter
Granting Institution: Technische Universität Berlin, Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften
Type: Doctoral Thesis
Language: English
Language Code: en
Abstract: Rough paths theory im Sinne von Terry Lyons (Oxford) erlaubt die Betrachtung und Loesung stochastischer Dierenzialgleichungen, sofern diese von Prozessen angetrieben werden, welche sich zu Prozessen in Rough-paths-Raeumen erweitern lassen. Eine allgemeine, hinreichende Bedingung fuer die Existenz eines solchen Liftes im Falle Gauss'scher Prozesse wurde von Friz-Victoir gegeben; diese fand zahlreiche Anwendungen, u.a. in der Hoermander Theorie [Cass-Friz, Annals of Math. 2010] und den nicht-linearen stochastischen partiellen Differenzialgleichungen [Hairer, Comm. Pure Appl. Math. 2010 und Annals of Math. 2013]. Hauptgegenstand der Dissertationsschrift ist eine weitergehende Untersuchung solcher Gauss'schen rough paths im Hinblick auf Anwendungen. In Kapitel 1 wird der stochastische Fluss betrachtet, welcher von einer stochastischen Stratonovich-Differenzialgleichung erzeugt wird. Approximiert man die Brown'schen Trajektorien stueckweise linear an einer endlichen Anzahl von Stuetzstellen, so erzeugt dieselbe Gleichung ebenfalls einen stochastischen Fluss. Es wird gezeigt, dass diese Fluesse fast sicher gegen den Fluss der Stratonovich-Gleichung konvergieren, sofern die Abstaende der Stuetzstellen gegen 0 konvergiert. Eine Konvergenzrate von 1/2 - \epsilon fuer alle \epsilon > 0 wird berechnet, und aus der Literatur ist bekannt, dass diese exakt ist bis auf moegliche logarithmische Korrekturen. In Kapitel 2 werden Konvergenzraten fuer das Wong-Zakai Theorem im Gauss'schen Fall berechnet. Als Korollar erhaelt man Konvergenzraten fuer eine leicht zu implementierende numerische Methode, welche benutzt werden kann, um die Loesung Y der von einem Gauss'schen Prozess X angetriebenen Dierenzialgleichung zu berechnen. Angewendet auf die fraktionelle Brown'sche Bewegung mit Hurst-Index H \in (1/4,1/2] erhalten wir eine Konvergenzrate von 2H - 1/2 - \epsilon fuer alle \epsilon > 0. Dies beweist eine Vermutung von [Deya-Neuenkirch-Tindel; Annales de l'Institut H. Poincare 2012]. Kapitel 3 befasst sich mit Fragen der Integrierbarkeitseigenschaften von verwandten Objekten. Es wird eine Klasse von Abbildungen definiert, unter der die exponentielle Integrierbarkeit des zugrundeliegenden Gauss'schen Prozesses erhalten bleibt. Als Folgerung sind etwa die Loesung Y einer von einem Gauss'schen Prozess X angetriebenen Differenzialgleichung sowie das stochastische Integral ueber 1-Formen Gauss'scher Prozesse X exponentiell integrierbar. Weiterhin wird gezeigt, dass die Loesung Y im Falle linearer Differenzialgleichungen endliche Lp-Momente besitzt fuer jedes p \geq 1. In Kapitel 4 wird der Abstand zweier Gauss'scher Prozesse in Rough-paths-Topologie abgeschaetzt. Die Abschaetzung impliziert scharfe Konvergenzraten der in Kapitel 2 untersuchten numerischen Methoden fuer eine wichtige Klasse Gauss'scher Prozesse, die etwa die Brown'sche Bewegung, die Brown'sche Bruecke oder den Ornstein-Uhlenbeck-Prozess umfasst. Kapitel 5 enthaelt ein einfach zu verifizierendes Kriterium, unter welchem ein gegebener Gauss'scher Prozesse einen Lift im Sinne von Friz-Victoir besitzt. Das Resultat wird angewendet auf die Loesung der fraktionellen stochastischen Waermeleitungsgleichung, welche damit als Prozess in Rough-paths-Raeumen aufgefasst werden kann. Schliesslich wird in Kapitel 6 gezeigt, dass die fast sicheren Konvergenzraten aus Kapitel 2 auch fuer Lp-Konvergenz zutreffen. Dies erlaubt die Anwendung eines multi-level Monte-Carlo Algorithmus im Sinne Giles' zur Berechnung eines Funktionals der Form Ef(Y), wobei Y wieder Loesung einer stochastischen Differenzialgleichung angetrieben von einem Gauss'schen Prozess ist. Es wird gezeigt, dass fuer einen gegebenen mittleren quadratischen Fehler die Komplexitaet des multi-level Monte-Carlo Algorithmus asymptotisch geringer ist als die Komplexitaet der einfachen Monte-Carlo Methode. Die Resultate sind teilweise publiziert (Bulletin des Sciences Mathematiques, 2011 und Stochastic Analysis and Applications, 2013), akzeptiert (Annals de l'Institut H. Poincare, 2012) bzw. in Preprintform (Kapitel 4, 5 und 6); bei Kapitel 4 ergab sich dabei eine (alleinige) Zusammenarbeit mit Weijun Xu (Oxford).
Rough paths theory in the sense of Lyons (Oxford) allows to solve stochastic differential equations driven by processes which can be lifted to rough paths spaces. A general, sufficient condition for the existence of such a lift in the context of Gaussian processes was given by Friz-Victoir. There are many applicatons of this result; for instance in Hoermander theory [Cass-Friz, Annals of Math. 2010] and in the theory of non-linear stochastic differential equations [Hairer, Comm. Pure Appl. Math. 2010 und Annals of Math. 2013]. The main objective of this thesis a further investigation of such Gaussian rough paths and its applications. In chapter 1, the stochastic flow induced by a Stratonovich SDE is considered. If the Brownian trajectories are piecewise linearly approximated for a given set of time points, the same SDE induces another stochastic flow. It is shown that these flows converge almost surely to the Stratonovich solution if the mesh-size of the time grid tends to 0. A convergence rate of 1/2 - \epsilon for all \epsilon > 0 can be calculated and it is known from the literature that this is exact modulo possible logarithmic corrections. In chapter 2 convergence rates for the Wong-Zakai theorem in the Gaussian case are calculated. As a corollary, one obtains convergence rates for an easy implementable numerical scheme which can be used for calculating the solution Y of an SDE driven by a Gaussian process X. Applied for the fractional Brownian motion, this gives a convergence rate of 2H - 1/2 - \epsilon for all \epsilon > 0. This proves a conjecture of [Deya-Neuenkirch-Tindel; Annales de l'Institut H. Poincare 2012]. Chapter 3 deals with integrability considerations of related objects. A class of functions is defined under which the exponential integrability of the underlying Gaussian process persists. As a corollary, the solution Y of an SDE driven by a Gaussian process and the stochastic integral over 1-forms of Gaussian processes are exponentially integrable. It is furthermore shown that the solution in the case of a linear stochastic differential equation has finite Lp-moments for any p \geq 1. In chapter 4, the distance between two Gaussian processes in rough paths topology is estimated. The estimates imply sharp convergence rates of the numerical methods examined in chapter 2 for an important class of Gaussian processes, including the Brownian motion, the Brownian bridge and the Ornstein-Uhlenbeck process. Chapter 5 contains an easy-to-verify criterion under which a given Gaussian process has a lift in the sense of Friz-Victoir. The result is applied to the solution of the fractional stochastic heat equation, which can thus be regarded as a process in Rough-paths spaces. Finally, we show in chapter 6 that the almost sure convergence rates from Chapter 2 also apply for Lp-convergence. This allows the use of a multi-level Monte Carlo algorithm in the sense of Giles in order to calculate the shape of a functional Ef(Y), where Y is again the solution of a stochastic differential equation driven by a Gaussian process. It is shown that, for a given mean square error, the complexity of the multi-level Monte Carlo algorithm is asymptotically less than the complexity of the simple Monte-Carlo method. The results are partially published (Bulletin des Sciences Mathematiques, 2011, and Stochastic Analysis and Applications, 2013), accepted (Annals de l'Institut H. Poincare, 2012) or in pre-print form (Chapters 4, 5 and 6). In Chapter 4, results obtained in collaboration with Xu Weijun (Oxford) are presented.
URI: urn:nbn:de:kobv:83-opus-39730
http://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/3898
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-3601
Exam Date: 23-May-2013
Issue Date: 24-May-2013
Date Available: 24-May-2013
DDC Class: 510 Mathematik
Subject(s): Gauss'sche Prozesse
Numerische Methoden
Rough paths Theorie
Stochastische partielle Differenzialgleichungen
Gaussian processes
Numerical methods
Rough paths theory
Stochastic partial differential equations
Usage rights: Terms of German Copyright Law
Appears in Collections:Technische Universität Berlin » Fakultäten & Zentralinstitute » Fakultät 2 Mathematik und Naturwissenschaften » Institut für Mathematik » Publications

Files in This Item:
File Description SizeFormat 
Dokument_20.pdf1,12 MBAdobe PDFThumbnail
View/Open


Items in DepositOnce are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.