Please use this identifier to cite or link to this item: http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-3620
Main Title: Persistence of sums of independent random variables, iterated processes and fractional Brownian motion
Translated Title: Das einseitige Austrittszeiten-Problem von Summen unabhängiger Zufallsvariablen, itertierten Prozessen und der gebrochenen Brownschen Bewegung
Author(s): Baumgarten, Christoph
Advisor(s): Aurzada, Frank
Granting Institution: Technische Universität Berlin, Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften
Type: Doctoral Thesis
Language: English
Language Code: en
Abstract: Die Überlebenswahrscheinlichkeit bis zum Zeitpunkt T eines stochastischen Prozesses ist definiert als die Wahrscheinlichkeit, dass der Prozess bis zu jener Zeit eine konstante Barriere nicht überquert. Für viele wichtige Prozesse konvergiert diese Wahrscheinlichkeit in der Zeit mit polynomieller oder exponentieller Geschwindigkeit gegen null. Typischerweise ist es schwierig, die Rate des Abfallens zu bestimmen. Dieses Problem wird häufig auch als einseitiges Austrittszeiten-Problem bezeichnet. Obwohl es sich um eine klassische Fragestellung handelt, ist das asymptotische Verhalten der Überlebenswahrscheinlichkeit nur für wenige Prozesse bekannt, z.B. Irrfahrten, Lévy-Prozesse, einige integrierte Prozesse wie der integrierte Wienerprozess, die gebrochene Brownsche Bewegung und einige spezielle Gauß-Prozesse. Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Asymptotik der Überlebenswahrscheinlichkeit von verschiedenen stochastischen Prozessen. Wir beginnen mit der Betrachtung von gewichteten Summen von unabhängig und identisch verteilten (u.i.v.) Zufallsvariablen. Solche Prozesse haben unabhängige Inkremente, jedoch sind diese im Gegensatz zu Irrfahrten nicht stationär, so dass klassische Resultate der Fluktuationstheorie nicht anwendbar sind. Wir befassen uns hauptsächlich mit gewichteten Summen, deren Gewichte polynomiell oder exponentiell wachsen. Im ersten Fall bestimmen wir die Rate des polynomiellen Abfallens und zeigen außerdem, dass diese universell für eine Klasse von zentrierten Verteilungen ist. Autoregressive Prozesse stellen ein weiteres Beispiel von gewichteten Summen von u.i.v. Zufallsvariablen dar. In diesem Fall sind die Gewichte die Lösung einer zugehörigen linearen Differenzengleichung. Das Verhalten der Überlebenswahrscheinlichkeit kann von exponentiellem oder polynomiellem Abfall bis zur Konvergenz gegen eine positive Konstante variieren. Wir leiten verschiedene Resultate her, die eine Charakterisierung der Asymptotik entsprechend der Gewichte erlauben. Sind zwei reellwertige Prozesse X und Y gegeben, so können wir einen neuen Prozess Z durch Komposition von X mit Y definieren: Z = X o Y. Solche Prozesse werden häufig als iterierte Prozesse bezeichnet. Das einseitige Austrittszeiten-Problem für Z reduziert sich auf die Bestimmung des Supremums von X über das Bild von [0,T] unter dem unabhängigen Prozess Y. Falls Y ein unstetiger Prozess ist, so ist sein Bild in der Regel kein Intervall, wodurch das Problem schwierig wird. Wir bestimmen die polynomielle Rate der Überlebenswahrscheinlichkeit für Lévy-Prozesse und gebrochene Brownsche Bewegungen, die mit (dem Betrag) einer Irrfahrt oder eines Lévy-Prozesses verknüpft sind. Im letzten Teil der Arbeit wird das einseitige Austrittszeitenproblem im Zusammenhang mit der gebrochenen Brownschen Bewegung (fractional Brownian motion, kurz FBM) untersucht. Wir betrachten die Überlebenswahrscheinlichkeit von FBM mit einer variablen Barriere, die wie eine Potenz der Logarithmusfunktion wachsen oder fallen darf. Es kann gezeigt werden, dass eine solche Barriere die Überlebenswahrscheinlichkeit bis auf Terme niedrigerer Ordnung nicht verändert.
The persistence probability up to time T of a stochastic process is the probability that the process does not cross a certain constant barrier until time T. For many processes of interest, this probability converges to zero at polynomial or exponential speed, and it is typically nontrivial to determine the rate of the decay. Sometimes this problem is also referred to as one-sided exit problem. Although it is a classial problem, the behaviour of the persistence probability is unknown for most processes except for random walks, Lévy processes, certain integrated processes such as integrated Brownian motion, fractional Brownian motion and a few other Gaussian processes. In this thesis, we study persistence of different stochastic processes. We start by considering weighted sums of independent and identically distributed (i.i.d.) random variables. Such processes have independent increments, but in contrast to random walks, the increments are not stationary, and classical results from fluctuation theory are therefore not applicable. Here we focus on weighted sums with weights that grow polynomially or exponentially. In the former case, we determine the polynomial rate of decay of the persistence probability, and the rate is shown to be universal over a class of centred distributions. Autoregressive processes are another example of weighted sums of i.i.d. random variables. Here the weights are the solution to a certain linear difference equation. The behaviour of the persistence probability can range from exponential or polynomial decay to convergence to a positive constant. We derive various results that allow for a characterisation of the behaviour according to the weights. Particular emphasis is put on autoregressive processes of order 2. Given two independent real-valued stochastic processes X and Y, we can define a new process Z by composition: Z = X o Y. Such processes are referred to as iterated processes. The persistence problem for Z reduces to studying the supremum of the process X over the image of [0,T] under the independent process Y. This is a challenging problem if Y is discontinuous so that its image is not an interval in general. We determine the polynomial rate of the persistence probability for Lévy processes and fractional Brownian motion composed with (the absolute value of) a random walk or a Lévy process. In the last part of the thesis, we discuss persistence probabilities related to fractional Brownian motion (FBM). We study persistence of FBM involving a moving boundary that is allowed to increase or decrease like some power of a logarithm. Our results show that the presence of such a boundary does not change the persistence probability of FBM up to terms of lower order. As an application, we determine the asymptotic behaviour of an integral functional related to a physical model involving FBM.
URI: urn:nbn:de:kobv:83-opus-39688
http://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/3917
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-3620
Exam Date: 24-Apr-2013
Issue Date: 28-May-2013
Date Available: 28-May-2013
DDC Class: 510 Mathematik
Subject(s): Austrittszeit
Stochastische Prozesse
Wahrscheinlichkeitstheorie
Exit time
Probability theory
Stochastic processes
Usage rights: Terms of German Copyright Law
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