Please use this identifier to cite or link to this item: http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-136
Main Title: Berechnung von Maximalordnungen über Dedekindringen
Translated Title: Computation of Maximal Orders over Dedekind Domains
Author(s): Friedrichs, Carsten
Advisor(s): Pohst, Michael E.
Granting Institution: Technische Universität Berlin, Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften
Type: Doctoral Thesis
Language: German
Language Code: de
Abstract: R sei ein beliebiger Dedekindring mit Quotientenkörper F=Q(R). In dieser Arbeit werden R-Ordnungen Lambda in endlich dimensionalen separablen F-Algebren A betrachtet, wobei A nicht notwendig kommutativ ist. Es werden (in der Dimension der F-Algebra A) polynomielle Verfahren zur Arithmetik (Summe, Schnitt, Produkt, Quotienten und Inverses) von Rechts-, Links- und zweiseitigen Idealen von Lambda entwickelt. Nebenbei werden Analogien zu Ordnungen in globalen Körpern aufgezeigt, die auch zum Verständnis der arithmetischen Eigenschaften der Ideale in Ordnungen algebraischer Zahlkörper beitragen. Ähnlich wie in globalen Körpern interessiert man sich für die Berechnung einer Maximalordnung. Im Gegensatz zum kommutativen Fall, ist die Maximalordnung im allgemeinen nicht eindeutig. Zur Berechnung von Maximalordnungen in separablen Algebren wird der Round 1 Algorithmus von Zassenhaus verallgemeinert. Der Round 2 Algorithmus von Zassenhaus nutzt aus, daß jede Maximalordnung hereditär ist, und berechnet erst eine hereditäre Ordnung Lambda(her) > Lambda und dann eine Maximalordnung Lambda(max) > Lambda(her). Wenn die Algebra kommutativ ist, so fällt die hereditäre Ordnung mit der Maximalordnung und mit dem ganzen Abschluß zusammen, so daß man den in globalen Körpern bekannten Round 2 Algorithmus erhält. Ein Teilproblem des Round 1 bzw. Round 2 Algorithmus ist, zu vorgegebenem Primideal p von R, das sogenannte p-Radikal bzw. die maximalen Ideale von Lambda zu konstruieren, die p enthalten. Hierzu werden allgemeine Verfahren angegeben. Insbesondere wird die Verbindung zu dem Algorithmus von Buchmann-Cohen-Lenstra zur Faktorisierung von Indexteilern in algebraischen Zahlkörpern hergestellt. Als Anwendung wird gezeigt, wie man in (nicht notwendig maximalen) Ordnungen beliebige zweiseitige Ideale faktorisiert, wobei man im allgemeinen keine vollständige Faktorisierung in Primideale erhält. Zum Abschluß werden noch einige Verbesserungen betrachtet. Die Verwendung des m-Radikals zur Berechnung hereditärer Ordnungen erlaubt zum Beispiel die Verwendung der nicht vollständig faktorisierten Diskriminante. Die Ausführungen zum m-Radikal stellen eine entscheidende Verallgemeinerung der Verfahren von Buchmann und Lenstra dar. Illustrative Beispiele, die vor allem die Vorteile der Verwendung des m-Radikals demonstrieren, und einige Bemerkungen zur Implementierung der beschriebenen Algorithmen runden diese Arbeit ab.
URI: urn:nbn:de:kobv:83-opus-400
http://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/433
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-136
Exam Date: 19-Dec-2000
Issue Date: 24-Jan-2001
Date Available: 24-Jan-2001
DDC Class: 510 Mathematik
Subject(s): Algorithmen
Dedekindringe
Maximalordnungen
Ordnungen
Usage rights: Terms of German Copyright Law
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