Please use this identifier to cite or link to this item: http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-4114
Main Title: Derivation and analysis of lubrication models for two-layer thin-films
Translated Title: Herleitung und Analysis von Dünnfilmmodellen für zweischichtige Flüssigkeitsfilme
Author(s): Jachalski, Sebastian
Advisor(s): Wagner, Barbara
Referee(s): Wagner, Barbara
Niethammer, Barbara
Peschka, Dirk
Granting Institution: Technische Universität Berlin, Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften
Type: Doctoral Thesis
Language: English
Language Code: en
Abstract: Das Thema dieser Dissertation ist mathematische Modellierung und Analysis von Entnetzungsverhalten und Gleichgewichtszuständen dünner, zweilagiger Flüssigkeitsfilme. Es werden Systeme aus gekoppelten Dünnfilmgleichungen hergeleitet, welche die Evolution von zwei geschichteten, nicht mischbaren Flüssigkeiten modellieren. Dabei werden intermolekulare Kräfte und Navier-slip Randbedingungen an den Grenzflächen einbezogen. Mithilfe dieser Modelle werden Stabilitätseigenschaften von zweischichtigen, flüssigen Filmen untersucht, insbesondere deren Abhängigkeit von der Größenordnung der slip-Längen. Die zugehörigen Dispersionsrelationen weisen zwei lokale Maxima auf. Das erste tritt bei kleinen Wellenzahlen auf, die entsprechenden Störungen beeinflussen hauptsächlich die Grenzschicht zwischen Flüssigkeit und Gas. Das zweite Maximum entsteht bei höheren Wellenzahlen, dabei wird die Grenzschicht zwischen den beiden Flüssigkeiten stärker gestört. Eine Veränderung der slip-Längen beeinflusst beide Maxima, was dazu führen kann, dass die dominante Wellenlänge springt und dadurch das spinodale Muster signifikant verändert wird. Danach werden Gleichgewichtszustände mithilfe der hergeleiteten Modelle untersucht. Unter Annahme eines negativen spreading coefficient, welcher durch das intermolekulare Potenzial gegeben ist, werden Konfigurationen bei denen die untere Flüssigkeit nur teilweise von der oberen bedeckt ist energetisch bevorzugt. Andererseits sorgen die intermolekularen Kräfte für das Bestehen einer ultra dünnen Schicht der Dicke h*. Für das zu den Dünnfilmmodellen zugehörige Gleichgewichtsproblem wird die Existenz von Lösungen gezeigt. Zudem werden für den Grenzfall h* gegen 0 sharp-interface Modelle und entsprechende Kontaktwinkel, welche der Neumann Konstruktion entsprechen, mithilfe von matched asymptotic analysis hergeleitet. Weiterhin wird für diesen Grenzfall eine sharp-interface Energie durch Γ-Konvergenz rigoros hergeleitet und anschließend die Minimierer dieser Energie bestimmt. Diese Minimierer stimmen mit den matched asymptotics Lösungen überein. Außerdem werden Vergleiche zwischen numerischen und experimentellen Ergebnissen präsentiert. Im nächsten Teil wird die Existenz von nicht negativen, globalen schwachen Lösungen zu den Dünnfilmmodellen, welche kleine und moderate slip-Längen beinhalten, für den Fall von vernachlässigten intermolekularen Kräften bewiesen. Für einen anderen Fall, wo intermolekulare Kräfte zwischen den Flüssigkeiten sowie zwischen der unteren Flüssigkeit und dem festen Substrat berücksichtigt sind, wird die Existenz von positiven, glatten Lösungen gezeigt. Für das Dünnfilmmodell, welches sehr große slip-Längen zulässt, wird die Stabilität von schwachen Lösungen in Hinblick auf Störungen der Anfangsdaten gezeigt.
The subject of this thesis is mathematical modeling and analysis of dewetting dynamics and equilibrium patterns of two-layer thin liquid films. We derive systems of coupled thin-film equations for two immiscible liquid layers on a solid substrate that take interfacial slip and intermolecular forces into account. By using these thin-film models, we study the stability of two-layer systems and investigate its dependence on the order of magnitude of slip. The resulting dispersion relations exhibit two local maxima. One appears for small wavenumbers and mainly affects the liquid-gas interface, the other arises for moderate wavenumbers and its associated perturbations have higher amplitudes at the liquid-liquid interface. Varying the slip lengths at the interfaces influences the two maxima, in particular, it may lead to a transition of the dominant wavelength and thereby change the spinodal patterns significantly. Then, we investigate stationary states of flows of thin liquid two-layers via the derived models. Assuming a negative spreading coefficient, which emerges from the intermolecular potential, the energy to the system favors the lower liquid layer to be only partially covered by the upper liquid. On the other hand, the intermolecur forces lead to an ultra-thin layer of thickness h*. For the stationary problem to the thin-film models we prove existence of solutions. Moreover, in the limit h* to 0 we apply matched asymptotic analysis to derive sharp-interface models and corresponding contact angles, i.e. the Neumann triangle. We use Γ-convergence to derive a sharp-interface energy rigorously in this limit and determine the minimizers to this energy. These minimizers agree with the solutions obtained by matched asymptotics. Furthermore, we present comparisons of numerical simulations with experimental results. We also show existence of non-negative global weak solutions to the derived thin-film models for small and moderate slip lengths in the case that intermolecular forces are neglected. In addition, we prove existence of positive smooth solutions when intermolecular forces between the liquids and between the lower liquid and the solid substrate are taken into account. For the thin-film model which allows for large slip we show that weak solutions are stable under perturbations of the initial data.
URI: urn:nbn:de:kobv:83-opus4-54493
http://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/4411
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-4114
Exam Date: 26-May-2014
Issue Date: 16-Jul-2014
Date Available: 16-Jul-2014
DDC Class: 500 Naturwissenschaften und Mathematik
Subject(s): Dünnfilmmodelle
Gamma-Konvergenz
Schwache Lösungen
Zweiphasenströmung
Gamma-convergence
Interfacial slip
Matched asymptotic analysis
Thin-film models
Two-phase flow
Weak solutions
Usage rights: Terms of German Copyright Law
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