Please use this identifier to cite or link to this item: http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-4183
Main Title: Discrete Riemann surfaces and integrable systems
Translated Title: Diskrete Riemannsche Flächen und Integrable Systeme
Author(s): Günther, Felix
Advisor(s): Bobenko, Alexander I.
Referee(s): Bobenko, Alexander I.
Chelkak, Dmitry
Granting Institution: Technische Universität Berlin, Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften
Type: Doctoral Thesis
Language: English
Language Code: en
Abstract: Wir entwickeln eine lineare Theorie der diskreten Funktionentheorie auf allgemeinen Quad-Graphen und führen bisherige Arbeiten von Duffin, Mercat, Kenyon, Chelkak und Smirnov auf rhombischen Quad-Graphen fort. Unser Ansatz, der auf dem Kantenmittelgraphen basiert, liefert nicht nur instruktivere Beweise von diskreten Analoga klassischer Sätze, sondern auch neue Resultate. Wir geben diskrete Entsprechungen zu fundamentalen Konzepten der Funktionentheorie wie holomorphen Funktionen, Ableitungen, dem Laplace-Operator und Differentialformen an. Zudem diskutieren wir diskrete Varianten wichtiger klassischer Sätze wie den Greenschen Formeln und den Cauchyschen Integralformeln. Zum ersten Mal überhaupt werden die erste Greensche Formel und die Cauchysche Integralformel für die Ableitung einer holomorphen Funktion diskretisiert. Für planare Parallelogrammgraphen mit beschränkten Innenwinkeln und Seitenverhältnissen konstruieren wir Diskretisierungen von Greenschen Funktionen und Cauchy-Kernen, deren asymptotisches Verhalten dem glatten Fall nahe kommt. Auf zweidimensionalen Gittern diskretisieren wir Cauchysche Integralformeln höherer Ableitungen. Unsere Arbeit zur diskreten Funktionentheorie wird mit der Untersuchung von diskreten Riemannschen Flächen fortgesetzt, die wir als Zellzerlegungen von Riemannschen Flächen in Vierecke zusammen mit Linearisierungen ihrer komplexen Strukturen betrachten. Wir verallgemeinern die Resultate von Mercat, Bobenko und Skopenkov auf Zerlegungen in allgemeine Vierecke und gelangen zu neuen Erkenntnissen. Unter anderem formulieren wir eine diskrete Riemann-Hurwitz-Formel, beweisen einen diskreten Satz von Riemann-Roch auf einer größeren Klasse von Divisoren und beschreiben diskrete Abel-Jacobi-Abbildungen. Zuletzt behandeln wir die variationelle Formulierung diskreter Laplace-Gleichungen, die durch diskrete integrable Systeme motiviert sind. Wir erklären, warum es nicht mehr als die untersuchten Realitätsbedingungen geben sollte, und leiten hinreichende Bedingungen für die Parameter her, die oft auch notwendig sind, unter denen das entsprechende Wirkungsfunktional konvex ist. Konvexität hilft uns, die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen Dirichletscher Randwertprobleme zu diskutieren. Außerdem analysieren wir, welche kombinatorischen Daten konvexe Wirkungsfunktionale von diskreten Laplace-Gleichungen zulassen, die gerade von diskreten integrablen Vierecksgleichungen induziert werden, und erläutern, wie die Gleichungen und Funktionale zu (Q3) mit Kreismustern zusammenhängen.
We develop a linear theory of discrete complex analysis on general quad-graphs, continuing and extending previous work of Duffin, Mercat, Kenyon, Chelkak, and Smirnov on discrete complex analysis on rhombic quad-graphs. Our approach based on the medial graph yields more instructive proofs of discrete analogs of several classical theorems, and even new results. We provide discrete counterparts of fundamental concepts in complex analysis such as holomorphic functions, derivatives, the Laplacian, and exterior calculus. Also, we discuss discrete versions of important basic theorems such as Green's identities and Cauchy's integral formulae. For the first time, we discretize Green's first identity and Cauchy's integral formula for the derivative of a holomorphic function. In the case of planar parallelogram-graphs with bounded interior angles and bounded ratio of side lengths, we construct a discrete Green's function and discrete Cauchy's kernels with asymptotics comparable to the smooth case. Further restricting to the integer lattice of a two-dimensional skew coordinate system yields appropriate discrete Cauchy's integral formulae for higher order derivatives. We continue our work on discrete complex analysis by investigating discrete Riemann surfaces, seen as quadrilateral cellular decompositions of Riemann surfaces together with linearizations of their complex structures. We generalize the results of Mercat, Bobenko, and Skopenkov to decompositions into general quadrilaterals, and extend the known theory. Inter alia, we give a discrete Riemann-Hurwitz formula, we prove a discrete Riemann-Roch theorem on a larger class of divisors, and we discuss discrete Abel-Jacobi maps. Finally, we investigate the variational structure of discrete Laplace-type equations that are motivated by discrete integrable quad-equations. We explain why the reality conditions we consider should be all that are reasonable, and derive sufficient conditions (that are often necessary) on the labeling of the edges under which the corresponding generalized discrete action functional is convex. Convexity is an essential tool to discuss existence and uniqueness of solutions to Dirichlet boundary value problems. Furthermore, we study which combinatorial data allow convex action functionals of discrete Laplace-type equations that are actually induced by discrete integrable quad-equations, and present how the equations and functionals corresponding to (Q3) are related to circle patterns.
URI: urn:nbn:de:kobv:83-opus4-56591
http://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/4480
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-4183
Exam Date: 5-Sep-2014
Issue Date: 9-Sep-2014
Date Available: 9-Sep-2014
DDC Class: 510 Mathematik
Subject(s): Diskrete Funktionentheorie
Diskrete integrable Systeme
Diskrete Riemannsche Flächen
Variationsprinzip
Vierecksgraph
Discrete complex analysis
Discrete integrable systems
Discrete Riemann surfaces
Quad-graph
Variational principle
Usage rights: Terms of German Copyright Law
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