Please use this identifier to cite or link to this item: http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-4236
Main Title: A flow-on-manifold formulation of differential-algebraic equations
Subtitle: Applications to positive systems
Translated Title: Eine Fluss-auf-Mannigfaltigkeiten Formulierung differential-algebraischer Gleichungen
Translated Subtitle: Anwendungen auf positive Systeme
Author(s): Baum, Ann-Kristin
Advisor(s): Mehrmann, Volker
Referee(s): Mehrmann, Volker
Tischendorf, Caren
Horváth, Zoltán
Granting Institution: Technische Universität Berlin, Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften
Type: Doctoral Thesis
Language: English
Language Code: en
Abstract: Differential-Algebraische Gleichungen (DAEs) sind gekoppelte Systeme von differentiellen und algebraischen Gleichungen, wie sie bei der Modellierung dynamischer Prozesse mit Zwangsbedingungen entstehen. Beispiele solcher Prozesse sind Mehrköpersysteme, deren Bewegung beispielsweise durch Gelenke eingeschränkt sind, elektrische Schaltkreise oder Netzwerke, in denen der Fluss durch Schleifen beeinflusst wird oder biologische Systeme, deren Dynamik Gleichgewichtsbedingungen und Erhaltungsgleichungen unterworfen ist. Insbesondere die Verwendung automatischer Modellierungssoftware wie Modelica, Dymola oder Simulink erzeugt große DAEs, die sich einer analytischen Behandlung per Hand entziehen. In der Modellierung dynamischer Prozesse in der Wirtschaft, der Soziologie, der Biologie, Chemie oder Verfahrenstechnik stellen die simulierten Größen zudem typischerweise reellwertige Größen wie Güter, Individuen oder die Konzentration biologischer oder chemischer Substanzen dar, welche keine negativen Werte annehmen können. Im Zusammenspiel mit den algebraischen Zwangsbedingungen führt dies zu dem Begriff positiver DAEs, d.h. Systemen, deren Lösungen, ausgehend von komponentenweise nichtnegativen Anfangswerten, stets nichtnegativ bleiben. In dieser Arbeit schlagen wir ein Konzept vor, welches den Begriff des Flußes einer Gewöhnlichen Differentialgleichung (ODE) auf DAEs erweitert und somit den Rahmen für die Analyse systemrelevanter Eigenschaften wie der Positivität bietet. Um die differentiellen und algebraischen Komponenten einer DAE zu entkoppeln, entwickeln wir zunächst einen Projektionsansatz, der es erlaubt, eingebettete Untermannigfaltigkeiten mit Hilfe projizierter Komponenten zu parametrisieren sowie die Grundidee einer Projektion auf den nichtlinearen Fall einer Untermannigfaltigkeit erweitert. In Kombination mit der Theorie des Strangeness-Index benutzen wir diesen Projektionsansatz, um eine DAE als ein System expliziter differentieller und algebraischer Gleichungen zu formulieren. Für das entkoppelte System bestimmen wir eine explizite Lösungsdarstellung, welche unter dem Nachweis der Existenz und Eindeutigkeit zu einer Erweiterung des Begriffs des Flusses führt. Für lineare Systeme ergibt dies insbesondere eine Verallgemeinerung von Duhamel's Formel. Mithilfe des Flusses verallgemeinern wir zunächst die Resultate flußinvarianter Mengen von ODEs auf DAEs. Darauf aufbauend entwickeln wir Bedingungen, um lineare und nichtlineare DAEs bezüglich der Positivität zu charakterisieren.
Differential-algebraic equations (DAEs) are coupled systems of differential and algebraic equations arising in the modeling of dynamic processes that are restricted by auxiliary, algebraic constraints. Examples are, e.g., multibody systems, where the movement of the system is forced to a predefined trajectory by connected joints, electrical circuits or networks, where connections and loops lead to algebraic relations of the flow and effort variables, or biological systems, reaction networks or advection-diffusion equations, where the evolution of the process is restricted by balance equations and conservation laws. Modeling dynamic processes in economic or social sciences, in biological or chemical engineering, the analyzed values typically represent real-valued quantities like the amount of goods or individuals or the density of a chemical or biological species that cannot take negative values. In combination with the algebraic constraints, this property leads to the notion of positive DAEs, i.e., systems whose solutions remain componentwise nonnegative whenever the initial value is nonnegative. In this work, we generalize the concept of the flow from ordinary differential equations (ODEs) to DAEs and use this framework to study system properties like invariant sets and positivity. To decouple the differential and algebraic components in a DAE, we develop an approach that allows to parameterize embedded submanifolds using projections and that extends the idea of projections to embedded submanifold. Combined with the theory of the strangeness-index, we apply this projection approach to remodel a given DAE as a set of explicit differential and algebraic equations. Solving the decoupled system and showing existence and uniqueness of the solution representation, we generalize the notion of the flow to DAEs. For linear systems, we generalize Duhamel's formula. Based on the flow, we extend the results of invariant sets from ODEs to DAEs and we characterize linear and nonlinear DAEs with regard to positivity.
URI: urn:nbn:de:kobv:83-opus4-58486
http://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/4533
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-4236
Exam Date: 20-Oct-2014
Issue Date: 4-Nov-2014
Date Available: 4-Nov-2014
DDC Class: 512 Algebra
518 Numerische Analysis
519 Wahrscheinlichkeiten, angewandte Mathematik
Subject(s): Differential-Algebraische Gleichungen
Fluß
Positivität
Differential-algebraic equations
Flow
Implicit differential equations
Positive systems
Positivity
Structural analysis
Structural preserving discretizations
Creative Commons License: https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/de/
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