Please use this identifier to cite or link to this item: http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-4275
Main Title: Spinor representation of Bryant surfaces with catenoidal and smooth ends
Translated Title: Spinor-Darstellung von Bryant-Flächen mit katenoidalen und glatten Enden
Author(s): Pavlyukevich, Tatiana
Advisor(s): Bobenko, Alexander I.
Referee(s): Bobenko, Alexander I.
Bohle, Christoph
Granting Institution: Technische Universität Berlin, Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften
Type: Doctoral Thesis
Language: English
Language Code: en
Abstract: Im Mittelpunkt dieser Dissertation stehen Flächen konstanter mittlerer Krümmung 1 (CMC-1) in einem hyperbolischen 3-Raum (Bryant-Flächen). Für diese Flächen erfolgt die Angabe einer globalen Darstellung mit Hilfe von holomorphen Spinoren, welche auf derselben riemannschen Fläche definiert sind, wie die Immersion, die sie repräsentieren. Im Vergleich zu der von vielen Wissenschaftlern bevorzugten Darstellung von Bryant, weist die von uns benutzte Spinor-Darstellung den Vorteil auf, dass die holomorphen Spinoren global auf der riemannschen Fläche der immersierten Fläche definiert sind. Die Lösungen dieser Gleichungen sind in abgeschlossener Form durch spezielle Funktionen gegeben, was uns die Verwendung zahlreicher Werkzeuge der Funktionentheorie für deren Analyse erlaubt. Durch diesen Zugang ist uns unter anderem die Lösung des Monodromieproblems, die Konstruktion verschiedener Beispiele wohldefinierter CMC-1 Flächen sowie die Visualisierung von diesen Flächen mit dem Softwarepaket Mathematica gelungen. Die globale Spinor-Darstellung ist der Ausgangspunkt unserer Betrachtungen. Mit ihrer Hilfe erhalten wir im generischen Fall expliziten Formeln für die sogenannten CMC-1 Trinoide, d.h. die Bryant-Flächen vom Geschlecht Null mit drei regulären Enden, die asymptotisch zu den Enden eines Katenoid-Cousins sind. Diese Gleichungen beinhalten hypergeometrische Funktionen, welche als Lösungen eines Fuchsschen Differentialgleichungssystems mit drei Singularitäten auftreten. Wir beweisen den Schlüsselsatz über die globale Eichäquivalenz des Differentialgleichungssystems, welches eine CMC-1 Immersion mit drei regulär eingebetteten Enden beschreibt, zum Fuchsschen System mit drei singulären Punkten. Weiterhin lösen wie das Monodromieproblem für Trinoide und charakterisieren somit alle geschlossenen (wohl-definierten) CMC-1-Flächen mit drei katenoidalen Enden im generischen Fall. Die Beschreibung von nichtgenerischen CMC-1-Trinoiden ist auf die Familie von geschlossenen Flächen mit drei glatten katenoidalen Enden beschränkt. Solche Trinoide können mit Hilfe von rationalen Funktionen dargestellt werden. Die Lösung des Falles für Flächen mit drei regulär eingebetteten Enden eröffnet uns einen Weg, Flächen mit n katenoidalen Enden (n>3) zu konstruieren und zu beschreiben. Insbesondere erhalten wir explizite Formeln für die Immersionen für Flächen mit zusätzlichen Symmetrien. Mit den Methoden, die für Trinoide entwickelt worden sind, konstruieren wir das Fundamentalstück der mit Symmetrien versehenen Fläche und wandeln dieses Stück gemäß der Aktion der Symmetriegruppe um. Damit erhalten wir abgeschlossene Formeln für alle n-Noide (n>3) mit Rotationssymmetrien sowie für die n-Noide mit den Enden in den Ecken von den platonischen Körpern, die invariant bez. der entsprechenden Symmetrieabbildungen sind. Des Weiteren untersuchen wir eine wesentlich interessantere Klasse von CMC-1 Flächen mit glatten katenoidalen Enden, welche über den idealen Rand glatt fortgesetzt werden können. Hier beweisen wir, dass ein regulär eingebettetes Ende einer wohldefinierten CMC-1 Immersion stets glatt ist. Ferner, besitzt ein glatter Trinoid immer eine meromorphische Bryant-Darstellung und kann deswegen durch rationale Funktionen ausgedrückt werden. Wir weisen einen Zusammenhang zwischen glatten und reduziblen n-Noiden nach und stellen die Reduzibilität aller glatten n-Noide fest. Zum Schluss beweisen wir, dass die Willmore-Energie für CMC-1 Flächen mit glatten katenoidalen Enden quantisiert werden kann, genauso wie für Euklidische Minimaloberflächen mit planaren Enden. Im letzten Teil der vorliegenden Arbeit behandeln wir glatte CMC-1 Flächen vom Geschlecht 1 mit zwei katenoidalen Enden, die sogenannten glatten Katenoid-Cousins des Geschlechts 1. Wie im Falle der Bryant-Trinoide beweisen wir die Eichäquivalenz der die Immersion beschreibenden Matrixdifferentialgleichung und einer Schrödinger-Differentialgleichung mit dem Treibich-Verdier-Lame-Potential. Mit Hilfe der expliziten Lösungsformel lösen wir das Monodromieproblem und zeigen, dass für n=1 und 2 keine glatten Katenoid-Cousins des Geschlechts 1 existieren. Wir geben außerdem Beispiele für glatte Zylinder mit zwei katenoidalen Enden an.
In this thesis we consider surfaces of constant mean curvature 1 (CMC-1) in a hyperbolic 3-space (Bryant surfaces). For these surfaces we present a global representation in terms of holomorphic spinors which are defined on the same Riemann surface as the immersion they represent. In contrast to Bryant's representation preferred by many researchers, our spinor representation appears to be much more useful because the holomorphic spinors are globally defined on the Riemann surface of the immersed surface. The solutions of these equations are determined in the closed form with the help of special functions which allows us to apply various tools of the complex function theory for their analysis. Among other things, by means of this approach we succeed in solving the monodromy problem, in obtaining different examples of well-defined CMC-1 surfaces and in their visualization in Mathematica software package. At a starting point of our analysis we use the global spinor representation to derive in generic case explicit formulas for the so-called CMC-1 trinoids, i.e. Bryant's surfaces of genus zero with three regular ends which are asymptotic to the ends of catenoid cousins. These formulas involve the hypergeometric functions appearing as solutions of a Fuchsian system of differential equations with three singularities. The crux of this part of the work is the proof of the global gauge equivalence of the system of differential equations describing a CMC-1 immersion with three regular embedded ends to a Fuchsian system with three singular points. Further we solve the monodromy problem for trinoids and describe thereby all closed (well-defined) CMC-1 surfaces with three catenoidal ends in generic case. The description of non-generic CMC-1 trinoids is restricted to those with smooth catenoidal ends which constitute a family of closed surfaces and can be expressed in terms of rational functions. The solution of the case of surfaces with three regular embedded ends opens us a way to construct and describe surfaces with n, n>3, catenoidal ends. In particular if a surface possesses additional symmetries it is possible to get explicit formulas for the immersions: we apply methods developed for trinoids to the fundamental piece (triangle) of a surface with symmetries and translate this piece according to the action of the symmetry group. Thus we obtain closed form formulas for all n-noids, n>3, with rotational symmetries (stars, pyramidal stars, bipyramidal stars etc.), and for n-noids with ends located at the vertices of Platonic polyhedra and enjoying corresponding symmetries (tetranoid, octanoid, cubonoid, dodecanoid, icosanoid). Another special and probably more interesting class of CMC-1 surfaces are surfaces with smooth catenoidal ends, i.e. surfaces which can be smoothly extended through the ideal boundary. Here we prove that a regular embedded end of a well-defined CMC-1 immersion is always smooth and that a smooth trinoid has a meromorphic Bryant representation, i.e. it is expressed in rational functions. We establish a relationship between smooth and reducible n-noids; in particular, we show that all smooth n-noids are reducible. At the end of this part of the thesis, we prove that the Willmore energy for CMC-1 surfaces with smooth catenoidal ends is quantized just as for Euclidean minimal surfaces with planar ends. In the final part of this thesis we treat smooth CMC-1 surfaces of genus one with two catenoidal ends, the so-called smooth genus-one catenoid cousins. As in the case of Bryant's trinoids, we prove that the matrix differential equation describing the immersion is gauge equivalent to a Schrödinger differential equation with Treibich-Verdier-Lame potential. Using the explicit formulas for its solution we solve the monodromy problem and show that there are no smooth genus-one catenoid cousins for n=1 and 2. We also give examples of smooth cylinders with two catenoidal ends.
URI: urn:nbn:de:kobv:83-opus4-59759
http://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/4572
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-4275
Exam Date: 31-Oct-2014
Issue Date: 10-Dec-2014
Date Available: 10-Dec-2014
DDC Class: 516 Geometrie
Subject(s): Bryant-Fläche
Fläche konstanter mittlerer Krümmung 1
Katenoidales Ende
Spinor-Darstellung
Trinoid
Bryant surface
Catenoidal end
Constant mean curvature surface
Spinor representation
Trinoid
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