Please use this identifier to cite or link to this item: http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-4316
Main Title: Excitation waves on complex networks
Translated Title: Erregungswellen auf komplexen Netzwerken
Author(s): Isele, Thomas Marius
Advisor(s): Schöll, Eckehard
Referee(s): Schöll, Eckehard
Provata, Astero
Granting Institution: Technische Universität Berlin, Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften
Type: Doctoral Thesis
Language: English
Language Code: en
Abstract: In dieser Dissertation untersuchen wir die Ausbreitung von Erregungswellen auf komplexen Netzwerken von FitzHugh-Nagumo Systemen. Wir konzentrieren uns auf einige unterschiedliche Netzwerkmodelle, die für die Erforschung von komplexen Netzwerken wichtig sind. Bei diesen handelt es sich um reguläre Ringnetzwerke, reguläre Baumnetzwerke, minimale kleine-Welt-Netzwerke und Newman-Watts kleine-Welt-Netzwerke. Bei Erregungswellen auf regulären Ringnetzwerken untersuchen wir zwei Grenzbereiche (sehr hohe und sehr niedrige Kopplungsstärken), wobei unsere Aufmerksamkeit auf jenen Punkten in diesen Bereichen liegt, an denen stabile Wellen instabil werden. Wir benutzen numerische Simulation und Lösungsverfolgung um zu zeigen, dass die Destabilisierung bei niedrigen, zusammen mit der bei hohen Kopplungsstärken impliziert, dass der Gesamtbereich von Kopplungsstärken, für die Wellenausbreitung möglich ist, endlich ist und dadurch die Dispersionsrelation durch eine geschlossene Kurve dargestellt wird. Für Baumnetzwerke zeigen wir, dass es einen kritischen Grad der Knoten (Blätter ausgenommen) gibt, der von der Kopplungsstärke abhängt und überhalb dessen keine Ausbreitung von Erregungswellen möglich ist. Wir berechnen diesen kritischen Grad mithilfe von Profilgleichungen einer Kontinuumsnäherung und der kinematischen Theorie. Im Bereich niedriger Kopplungsstärken können wir erfolgreich die sogenannt Aktive-Punkt Näherung zur Anwendung bringen. Mithilfe dieser können wir einen optimalen Wert der Kopplungsstärke vorhersagen und berechnen, bei der der kritische Grad ein Maximum annimmt. Abschliessend wenden wir die gewonnenen Ergebnisse auf die Ausbreitung von Erregungswellen in Erdős-Rényi Zufallsnetzwerken an. Bei der Erforschung von minimalen kleine-Welt-Netzwerken, scheinbar einfachen Systemen, die aus einem regulären Ring mit einer einzigen zusätzlichen Kante bestehen, entdecken wir eine große Menge komplizierter dynamischer Muster. Beispiele dieser Muster sind Periodenvervielfachungen, Ausbreitungsunterdrückung, die Entstehung von Sekundärwellen und mehr. Wir untersuchen die Mechanismen und Bedingungen die zur Entstehung dieser Muster führen im Detail mithilfe von numerischen Simulationen. Es stellt sich heraus, dass aus diesen Mustern mithilfe von lediglich zwei Parametern, der Kopplungsstärke und der Entfernung die die zusätzliche Kante überbrückt, ausgewählt werden kann. Des weiteren untersuchen wir den Einfluß der Netzwerkgröße und der Kopplungsreichweite auf das Vorhandensein dieser Muster. Um diesen Teil abzurunden führen wir noch analytische Näherungen einiger Schwellwerte in diesem System durch. Zu guter Letzt untersuchen wir den Einfluss von Newman-Watts kleine-Welt Topologien auf die Ausbreitung von Erregungswellen aus. Unsere Ergebnisse stimmen insofern mit denen anderer Autoren überein, als dass eine hohe Anzahl zusätzlicher Kanten zu Ausbreitungsunterdrückung führt. Allerdings untersuchen wir das System im kompletten Beriech der zulässigen Kopplungsstärken und entdecken unterschiedliches Verhalten im Bereich kleiner und großer Kopplungsstärken. Im Bereich niedriger Kopplungsstärken können wir erfolgreich einige Ergebnisse aus der Untersuchung von minimalen kleine-Welt-Netzwerken anwenden und den Übergang zu Ausbreitungsunterdrückung berechnen. Sowohl im Bereich hoher, als auch im Bereich niedriger Kopplungsstärken untersuchen wir das Skalierungsverhalten in Bezug auf Netzwerkgröße und Kopplungsreichweite. Unsere Resultate haben Auswirkungen auf das Verständnis der Entstehung raum-zeitlicher Muster auf Netzwerksystemen. Viele der Mechanismen für Ausbreitungsunterdrückung und Musterbildung sind allgemein für anregbare Dynamiken gültig und nicht auf das konkrete, von uns benutzte Beispielsystem (FitzHugh-Nagumo) beschränkt. Ausserdem sind kleine-Welt-Netzwerke in unserer Welt allgegenwärtig und ein verbessertes Verständnis für Wellenausbreitung auf diesen könnte sich als sehr nützlich erweisen.
In this thesis, we study the propagation of excitation waves emerging on many units of FitzHugh-Nagumo systems that are coupled by complex network structures. We focus on several different model network structures that are important in the study of complex network systems. These are regular ring networks, regular tree networks, minimal small-world models and Newman-Watts small world models. For excitation waves on regular ring networks, we study two limiting regimes (high and low coupling strength) with special focus on the points in this regime where stable waves become unstable. Using numerical simulation and continuation, we show that the destabilization at low coupling strength together with that at high coupling strength implies that the total range of admissible coupling strengths for wave propagation is finite and the dispersion relation is given by a closed curve. In the study of regular tree networks, we find a critical degree of the non-leaf nodes which depends on the coupling strength and above which no wave propagation is possible. We calculate this critical degree in the high coupling strength regime using profile equations of an approximate continuum system and kinematical theory. In the low coupling strength regime we are able to successfully apply the so-called active point approximation. Using this, we predict and find an optimum value of the coupling strength at which the critical degree is highest. Finally, we apply our findings to wave propagation on Erdős-Rényi random networks. In the study of minimal small-world networks, seemingly simple systems that consist of a ring network with one additional link, we discover a host of intricate dynamical patterns. These patterns include period multiplications, propagation failure, generation of secondary waves and more. We study the mechanisms and conditions which lead to the generation of these patterns in detail using numerical simulations. We find that the patterns can be selected by simply adjusting the coupling strength and the distance that the additional link spans. Moreover, we study the influence of network size and coupling range on the occurence of these patterns. Finally, we perform analytical approximations for some transition thresholds in the system. Last but not least we study the influence of Newman-Watts small-world topologies on excitation wave propagation. Our findings agree with that of other authors in that a high number of additional long-range links leads to propagation failure. However, we study this system in the full range of admissible coupling strengths, discovering different behavior in the regimes of low and high coupling strength. In the low coupling strength regime we are able to apply some of the results of our study of minimal small-world networks and calculate the transition to propagation failure. In both high and low coupling strength regime, we study the scaling behavior with respect to system size and coupling range. Our results have implications for the understanding of the generation of spatio-temporal patterns in network systems. Many of the mechanisms for propagation failure and pattern generation are general and not restricted to the particular dynamics we employed. Moreover, small-world topologies are ubiquitous in the physical world and the understanding of wave propagation on these could prove important.
URI: urn:nbn:de:kobv:83-opus4-60862
http://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/4613
http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-4316
Exam Date: 17-Dec-2014
Issue Date: 2-Mar-2015
Date Available: 2-Mar-2015
DDC Class: 539 Moderne Physik
Subject(s): Komplexe Netzwerke
Musterbildung
Nichtlineare Dynamik
Struktur und Selbstorganisation in komplexen Systemen
Complex networks
Nonlinear dynamics
Nonlinear waves
Pattern formation
Structures and organisation in complex systems
Creative Commons License: https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/de/
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